Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se R: \mathbb{R}^{32} \rightarrow \mathbb{R}^{32} é diagonalizável, então R possui 32 autovalores reais distintos.
II - Seja B uma matriz 54 \times 54 com 30 autovalores reais distintos diferentes de zero. Se seu posto é 32 , então B é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmativas e pede para julgá‑las (verdadeiro/falso). As informações dadas são:
  • Afirmação I: “Se \;R: \mathbb{R}^{32} \rightarrow \mathbb{R}^{32}\; é diagonalizável, então R possui 32 autovalores reais distintos.”
  • Afirmação II: “Seja B uma matriz 54\times54 com 30 autovalores reais distintos diferentes de zero. Se seu posto é 32, então B é diagonalizável.”
    Não há outros dados. O objetivo é decidir a veracidade de cada afirmativa e justificar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar (com calma e num jeito que você consiga usar na prova) o que significa “diagonalizável” e o que são multiplicidades algébrica e geométrica de um autovalor.
Definições e ideias básicas:
  • Uma transformação linear T: V\to V (ou matriz A) é diagonalizável se existe uma base de V formada por autovetores de T. Em termos de matriz, isso significa que existe uma matriz invertível P tal que P^{-1}AP é diagonal.
  • Os elementos da diagonal numa matriz diagonal semelhante a A são autovalores de A. Logo, se A é diagonalizável sobre \mathbb{R}, todos os seus autovalores aparecem na diagonal e são números reais.
  • Para cada autovalor \lambda, definimos:
    • multiplicidade algébrica de \lambda: é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico (ou seja, quantas vezes \lambda aparece contando multiplicidade).
    • multiplicidade geométrica de \lambda: é a dimensão do espaço nulo de A-\lambda I, isto é, o número de autovetores linearmente independentes associados a \lambda.
  • Condição necessária e suficiente para diagonalizabilidade (numa base sobre \mathbb{R} ou \mathbb{C}): para todo autovalor \lambda, a multiplicidade geométrica deve ser igual à multiplicidade algébrica, e a soma das multiplicidades algébricas (contando todos os autovalores) é a dimensão total do espaço.
Essas são as ferramentas que usaremos para analisar I e II.

Passo 3

Analisando a afirmativa I.
Afirmativa I diz: se \;R: \mathbb{R}^{32}\to\mathbb{R}^{32}\; é diagonalizável, então R possui 32 autovalores reais distintos.
Vamos ver passo a passo por que isso é falso.
  1. Se R é diagonalizável sobre \mathbb{R}, então, como dito, existe uma base de autovetores e a matriz associada é semelhante a uma matriz diagonal com entradas reais — portanto todos os autovalores são reais. Logo, diagonalizável sobre \mathbb{R} implica autovalores reais (sem problema aí).
  2. Porém, a afirmativa exige que sejam 32 autovalores distintos. Isso significa que pede multiplicidade algébrica igual a 1 para cada autovalor, totalizando 32 valores distintos. Essa exigência é desnecessária: uma matriz diagonal (ou uma transformação diagonalizável) pode ter autovalores repetidos. O que importa é ter um número suficiente de autovetores independentes, não que os valores sejam todos diferentes.
  3. Exemplo concreto e simples (contraponto): a transformação identidade I em \mathbb{R}^{32} é diagonalizável (já está na forma diagonal). Todos os vetores da base padrão são autovetores com autovalor 1. Nesse caso há apenas um autovalor \lambda=1, com multiplicidade algébrica 32 e multiplicidade geométrica 32. Portanto I é diagonalizável e NÃO tem 32 autovalores distintos; tem apenas 1. Isso é um contraexemplo direto que mostra que a afirmativa I é falsa.
  4. Conclusão lógica para I: diagonalizabilidade não exige autovalores distintos; exige igualdade entre multiplicidades algébrica e geométrica para cada autovalor. Assim I é falsa.

Passo 4

Agora vamos à afirmativa II.
Recapitulando os dados (já que isso ajuda na prova): B é 54\times54, tem 30 autovalores reais distintos diferentes de zero e \operatorname{rank}(B)=32.
Primeiro vamos extrair consequências imediatas do posto:
  • Pelo teorema do posto-nulidade (rank-nullity) aplicado a B:\mathbb{R}^{54}\to\mathbb{R}^{54}, \operatorname{rank}(B)+\operatorname{nullity}(B)=54.Como \operatorname{rank}(B)=32, segue que \operatorname{nullity}(B)=54-32=22.A nullidade é a dimensão do núcleo de B, ou seja, a multiplicidade geométrica do autovalor 0 é 22. Em símbolos: \dim\ker(B)=22.
Agora pense nos autovalores e suas multiplicidades:
  • Há 30 autovalores distintos não nulos. Cada autovalor distinto tem multiplicidade algébrica pelo menos 1 (sempre). Sendo distintos, cada um desses 30 ocupa pelo menos uma unidade na soma das multiplicidades algébricas.
  • Seja m_0 a multiplicidade algébrica do autovalor 0. Então a soma das multiplicidades algébricas de todos os autovalores (os 30 não nulos mais o zero) deve ser 54. Ou seja, m_0 + \sum_{i=1}^{30} m_i = 54,onde cada m_i\ge1 é a multiplicidade algébrica do i-ésimo autovalor não nulo. Assim \sum_{i=1}^{30} m_i\ge30, logo m_0 \le 54-30 = 24.Portanto a multiplicidade algébrica de 0 pode ser entre 22 e 24 (inclusive), pois a multiplicidade geométrica de 0 é 22 e sempre vale multiplicidade geométrica \le multiplicidade algébrica.

Passo 5

Explicando por que isso permite contraexemplo e construindo um exemplo explícito (isso ajuda muito na prova: sempre demonstre existência com blocos de Jordan quando necessário).
Queremos mostrar que mesmo com essas hipóteses B pode não ser diagonalizável. Para isso basta dar um exemplo possível em que a multiplicidade algébrica de 0 seja estritamente maior que sua multiplicidade geométrica (nesse caso seria suficiente que m_0=24 e geométrica =22), o que impede diagonalização.
Construção (interpretação por blocos):
  • Considere uma matriz em forma de bloco diagonal constituída por:
    • 30 blocos 1\times1 com entradas \lambda_1,\dots,\lambda_{30}, todas distintas e todas não zero (isso dá os 30 autovalores distintos não nulos, cada um com multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1);
    • Para o autovalor zero, faça 20 blocos 1\times1 com 0 na diagonal e mais 2 blocos 2\times2 na forma de blocos de Jordan nilpotentes: J_2(0)=\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}cada um com multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1.
  • Contagem de dimensões:
    • Os 30 blocos 1\times1 não nulos contribuem com 30 na soma das multiplicidades algébricas.
    • Os 20 blocos 1\times1 com zero contribuem com 20.
    • Os dois blocos 2\times2 com zero contribuem com 2\cdot 2=4.
    • Soma total de dimensões: 30+20+4=54, ok.
  • Multiplicidade algébrica de 0: m_0=20+4=24.
  • Multiplicidade geométrica de 0 (número de blocos associados a 0): 20 + 2 = 22. Isso coincide com a nullidade dada pelo posto (22), então o exemplo respeita \operatorname{rank}(B)=32 como veremos.
Agora calcule o posto desse bloco-diagonal:
  • Cada bloco 1\times1 não nulo tem posto 1, somando 30.
  • Cada bloco 1\times1 zero tem posto 0, somando 0.
  • Cada bloco 2\times2 do tipo J_2(0) tem posto 1 (porque tem a primeira linha (0,1) não nula, segunda linha nula), então os dois blocos somam 2.
  • Posto total = 30 + 0 + 2 = 32, que é exatamente o posto exigido.
Observações importantes que explicitam o mecanismo:
  • Neste exemplo os 30 autovalores não nulos são todos simples (multiplicidade algébrica 1) e, por serem distintos, a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica para eles.
  • Para o autovalor 0, a multiplicidade algébrica é 24 mas a multiplicidade geométrica é 22. Como em pelo menos um autovalor (aqui, o zero) a multiplicidade geométrica é estritamente menor que a algébrica, a matriz NÃO é diagonalizável.
  • Portanto existe uma matriz B com as propriedades do enunciado que NÃO é diagonalizável. Isso mostra que a afirmativa II (“então B é diagonalizável”) é falsa.]

Passo 6

Resumo didático das razões (para você lembrar na prova):
  • Diagonalizabilidade exige igualdade entre multiplicidade algébrica e geométrica para cada autovalor.
  • Ter muitos autovalores distintos facilita a diagonalização, porque cada autovalor distinto garante pelo menos um autovetor independente; mas a presença de autovalor 0 (ou de qualquer autovalor) com diferença entre multiplicidades pode impedir a diagonalização.
  • O posto dá a dimensão do núcleo (geom multiplicidade de 0). Combinando isso com a soma das multiplicidades algébricas (tem de somar 54) podemos ajustar multiplicidades algébricas de 0 para criar um descompasso e construir um contraexemplo via blocos de Jordan.
  • O contraexemplo construído mostra explicitamente que, mesmo com 30 autovalores distintos não nulos e posto 32, a matriz pode não ser diagonalizável.

Resposta

I: Falso.
II: Falso.

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