Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é diagonalizável, então
possui 32 autovalores reais distintos.
II - Seja
uma matriz
com 30 autovalores reais distintos diferentes de zero. Se seu posto é 32 , então
é diagonalizável.
I - Se
II - Seja
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmativas e pede para julgá‑las (verdadeiro/falso). As informações dadas são:
- Afirmação I: “Se
é diagonalizável, então possui 32 autovalores reais distintos.” - Afirmação II: “Seja
uma matriz com 30 autovalores reais distintos diferentes de zero. Se seu posto é 32, então é diagonalizável.”
Não há outros dados. O objetivo é decidir a veracidade de cada afirmativa e justificar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar (com calma e num jeito que você consiga usar na prova) o que significa “diagonalizável” e o que são multiplicidades algébrica e geométrica de um autovalor.
Definições e ideias básicas:
- Uma transformação linear
(ou matriz ) é diagonalizável se existe uma base de formada por autovetores de . Em termos de matriz, isso significa que existe uma matriz invertível tal que é diagonal. - Os elementos da diagonal numa matriz diagonal semelhante a
são autovalores de . Logo, se é diagonalizável sobre , todos os seus autovalores aparecem na diagonal e são números reais. - Para cada autovalor
, definimos: - multiplicidade algébrica de
: é a multiplicidade de como raiz do polinômio característico (ou seja, quantas vezes aparece contando multiplicidade). - multiplicidade geométrica de
: é a dimensão do espaço nulo de , isto é, o número de autovetores linearmente independentes associados a .
- multiplicidade algébrica de
- Condição necessária e suficiente para diagonalizabilidade (numa base sobre
ou ): para todo autovalor , a multiplicidade geométrica deve ser igual à multiplicidade algébrica, e a soma das multiplicidades algébricas (contando todos os autovalores) é a dimensão total do espaço.
Essas são as ferramentas que usaremos para analisar I e II.
Passo 3
Analisando a afirmativa I.
Afirmativa I diz: se
é diagonalizável, então
possui 32 autovalores reais distintos.
Vamos ver passo a passo por que isso é falso.
-
Se
é diagonalizável sobre , então, como dito, existe uma base de autovetores e a matriz associada é semelhante a uma matriz diagonal com entradas reais — portanto todos os autovalores são reais. Logo, diagonalizável sobre implica autovalores reais (sem problema aí). -
Porém, a afirmativa exige que sejam 32 autovalores distintos. Isso significa que pede multiplicidade algébrica igual a
para cada autovalor, totalizando valores distintos. Essa exigência é desnecessária: uma matriz diagonal (ou uma transformação diagonalizável) pode ter autovalores repetidos. O que importa é ter um número suficiente de autovetores independentes, não que os valores sejam todos diferentes. -
Exemplo concreto e simples (contraponto): a transformação identidade
em é diagonalizável (já está na forma diagonal). Todos os vetores da base padrão são autovetores com autovalor . Nesse caso há apenas um autovalor , com multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica . Portanto é diagonalizável e NÃO tem 32 autovalores distintos; tem apenas 1. Isso é um contraexemplo direto que mostra que a afirmativa I é falsa. -
Conclusão lógica para I: diagonalizabilidade não exige autovalores distintos; exige igualdade entre multiplicidades algébrica e geométrica para cada autovalor. Assim I é falsa.
Passo 4
Agora vamos à afirmativa II.
Recapitulando os dados (já que isso ajuda na prova):
é
, tem 30 autovalores reais distintos diferentes de zero e
.
Primeiro vamos extrair consequências imediatas do posto:
- Pelo teorema do posto-nulidade (rank-nullity) aplicado a
, Como , segue que A nullidade é a dimensão do núcleo de , ou seja, a multiplicidade geométrica do autovalor é . Em símbolos: .
Agora pense nos autovalores e suas multiplicidades:
- Há 30 autovalores distintos não nulos. Cada autovalor distinto tem multiplicidade algébrica pelo menos
(sempre). Sendo distintos, cada um desses 30 ocupa pelo menos uma unidade na soma das multiplicidades algébricas. - Seja
a multiplicidade algébrica do autovalor . Então a soma das multiplicidades algébricas de todos os autovalores (os 30 não nulos mais o zero) deve ser . Ou seja, onde cada é a multiplicidade algébrica do -ésimo autovalor não nulo. Assim , logo Portanto a multiplicidade algébrica de pode ser entre e (inclusive), pois a multiplicidade geométrica de é e sempre vale multiplicidade geométrica multiplicidade algébrica.
Passo 5
Explicando por que isso permite contraexemplo e construindo um exemplo explícito (isso ajuda muito na prova: sempre demonstre existência com blocos de Jordan quando necessário).
Queremos mostrar que mesmo com essas hipóteses
pode não ser diagonalizável. Para isso basta dar um exemplo possível em que a multiplicidade algébrica de
seja estritamente maior que sua multiplicidade geométrica (nesse caso seria suficiente que
e geométrica
), o que impede diagonalização.
Construção (interpretação por blocos):
- Considere uma matriz em forma de bloco diagonal constituída por:
-
blocos com entradas , todas distintas e todas não zero (isso dá os 30 autovalores distintos não nulos, cada um com multiplicidade algébrica e geométrica ); - Para o autovalor zero, faça
blocos com na diagonal e mais blocos na forma de blocos de Jordan nilpotentes: cada um com multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica .
-
- Contagem de dimensões:
- Os 30 blocos
não nulos contribuem com na soma das multiplicidades algébricas. - Os 20 blocos
com zero contribuem com . - Os dois blocos
com zero contribuem com . - Soma total de dimensões:
, ok.
- Os 30 blocos
- Multiplicidade algébrica de
: . - Multiplicidade geométrica de
(número de blocos associados a ): . Isso coincide com a nullidade dada pelo posto (22), então o exemplo respeita como veremos.
Agora calcule o posto desse bloco-diagonal:
- Cada bloco
não nulo tem posto , somando . - Cada bloco
zero tem posto , somando . - Cada bloco
do tipo tem posto (porque tem a primeira linha não nula, segunda linha nula), então os dois blocos somam . - Posto total =
, que é exatamente o posto exigido.
Observações importantes que explicitam o mecanismo:
- Neste exemplo os 30 autovalores não nulos são todos simples (multiplicidade algébrica 1) e, por serem distintos, a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica para eles.
- Para o autovalor
, a multiplicidade algébrica é mas a multiplicidade geométrica é . Como em pelo menos um autovalor (aqui, o zero) a multiplicidade geométrica é estritamente menor que a algébrica, a matriz NÃO é diagonalizável. - Portanto existe uma matriz
com as propriedades do enunciado que NÃO é diagonalizável. Isso mostra que a afirmativa II (“então é diagonalizável”) é falsa.]
Passo 6
Resumo didático das razões (para você lembrar na prova):
- Diagonalizabilidade exige igualdade entre multiplicidade algébrica e geométrica para cada autovalor.
- Ter muitos autovalores distintos facilita a diagonalização, porque cada autovalor distinto garante pelo menos um autovetor independente; mas a presença de autovalor
(ou de qualquer autovalor) com diferença entre multiplicidades pode impedir a diagonalização. - O posto dá a dimensão do núcleo (geom multiplicidade de
). Combinando isso com a soma das multiplicidades algébricas (tem de somar 54) podemos ajustar multiplicidades algébricas de para criar um descompasso e construir um contraexemplo via blocos de Jordan. - O contraexemplo construído mostra explicitamente que, mesmo com 30 autovalores distintos não nulos e posto 32, a matriz pode não ser diagonalizável.
Resposta
I: Falso.
II: Falso.
II: Falso.