Q13: Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=\left[\begin{array}{rrrrrrrr} -3 & 0 & 0 & 6 & -2 & -5 & -1 & 7 \\\\ 1 & 2 & 1 & -3 & -6 & -2 & 3 & 7 \\\\ 7 & -35 & -10 & -6 & 1 & -6 & 4 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 & 0 & -2 & 5 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -3 & 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & -6 & -1 & -5 & -7 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 3 \end{array}\right]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(-5-\lambda)^{3}(-4-\lambda)^{2}
(B) p_{c}^{A}(\lambda)=(4-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{3}(-2-\lambda)(3-\lambda)
(C) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(-5-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}(2-\lambda)
(D) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}(2-\lambda)^{2}
(E) p_{c}^{A}(\lambda)=(4-\lambda)^{2}(5-\lambda)^{2}(-2-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}
(F) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(-5-\lambda)^{3}(-4-\lambda)(2-\lambda)
(G) p_{c}^{A}(\lambda)=(4-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{2}(-2-\lambda)^{2}(3-\lambda)
(H) p_{c}^{A}(\lambda)=(4-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o polinômio característico da matriz A de ordem 8 dada abaixo (e dá a dica de explorar a estrutura em blocos). As informações relevantes fornecidas no enunciado que vamos usar são:
A=\begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 & 6 & -2 & -5 & -1 & 7 \\\\ 1 & 2 & 1 & -3 & -6 & -2 & 3 & 7 \\\\ 7 & -35 & -10 & -6 & 1 & -6 & 4 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 & 0 & -2 & 5 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -3 & 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & -6 & -1 & -5 & -7 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}
Observações extraídas da própria matriz (dados relevantes):
  • As entradas nas linhas 4 a 8 e colunas 1 a 3 são todas zero (peguei isso da matriz acima).
  • Assim é natural particionar A em blocos conformes com a divisão \{1,2,3\} e \{4,5,6,7,8\}.
    Nada mais é pedido além do polinômio característico p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (explicadinho):
  • O polinômio característico de uma matriz A é definido por
p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Aqui I é a matriz identidade da mesma ordem de A e \lambda é a variável do polinômio.
  • Propriedade de matrizes em blocos (caso que aparece aqui): se escrevemos
A=\begin{pmatrix}B_{11} & B_{12} \\\\ 0 & B_{22}\end{pmatrix},
ou seja, se A é block-upper-triangular (o bloco abaixo da diagonal B_{21} é zero), então
\det(A-\lambda I)=\det(B_{11}-\lambda I)\cdot\det(B_{22}-\lambda I).
Isso ocorre porque A-\lambda I mantém a forma em blocos superiores e o determinante de uma matriz triangular por blocos é o produto dos determinantes dos blocos diagonais. É uma ferramenta muito prática porque reduz o problema a determinantes menores.

Passo 3

Aplicando a observação da Passo 1: vamos particionar A em blocos conforme índices 1\!:\!3 e 4\!:\!8. Do enunciado (peguei da matriz) vemos que o bloco B_{21} (linhas 4\!:\!8, colunas 1\!:\!3) é a matriz zero. Então A tem a forma block-upper-triangular e
p_A(\lambda)=\det(B_{11}-\lambda I_3)\cdot\det(B_{22}-\lambda I_5),
onde os blocos são (extraído diretamente da matriz dada):
B_{11}=\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 2 & 1 \\[4pt] 7 & -35 & -10\end{pmatrix}, \qquad B_{22}=\begin{pmatrix} -5 & 0 & 0 & -2 & 5 \\[4pt] -1 & -3 & 1 & 2 & 3 \\[4pt] -6 & -1 & -5 & -7 & 4 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular \det(B_{11}-\lambda I_3) passo a passo:
Escrevemos
B_{11}-\lambda I_3=\begin{pmatrix}-3-\lambda & 0 & 0 \\[4pt] 1 & 2-\lambda & 1 \\[4pt] 7 & -35 & -10-\lambda\end{pmatrix}.
Repare que a primeira linha tem zeros nas colunas 2 e 3, então podemos desenvolver pelo primeiro elemento -3-\lambda:
\det(B_{11}-\lambda I_3)=(-3-\lambda)\cdot \det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\[4pt] -35 & -10-\lambda\end{pmatrix}.
Calcule o determinante 2\times2:
\begin{aligned} \det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\\\ -35 & -10-\lambda\end{pmatrix} &=(2-\lambda)(-10-\lambda)-1\cdot(-35)\\[4pt] &=(2-\lambda)(-10-\lambda)+35. \end{aligned}
Multiplicando e simplificando:
(2-\lambda)(-10-\lambda)=\lambda^2+8\lambda-20,
então adicionando 35 obtemos
\lambda^2+8\lambda+15=(\lambda+3)(\lambda+5).
Portanto
\det(B_{11}-\lambda I_3)=(-3-\lambda)\,(\lambda+3)\,(\lambda+5).
Obs.: podemos deixar esse fator como produto de fatores do tipo (-3-\lambda) etc., pois as opções usam essa notação.]

Passo 5

Analisar B_{22} em blocos menores (pegando da própria B_{22}): note que as duas últimas linhas (linhas correspondentes a índices 7,8 da matriz original) têm zeros nas três primeiras colunas do bloco, isto é, dentro de B_{22} o bloco inferior-esquerdo é zero. Então particionamos B_{22} como
B_{22}=\begin{pmatrix}C_{11} & C_{12} \\[4pt] 0 & C_{22}\end{pmatrix},
com
C_{11}=\begin{pmatrix}-5 & 0 & 0 \\[4pt] -1 & -3 & 1 \\[4pt] -6 & -1 & -5\end{pmatrix}, \qquad C_{22}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}.
Usando a mesma propriedade em blocos,
\det(B_{22}-\lambda I_5)=\det(C_{11}-\lambda I_3)\cdot\det(C_{22}-\lambda I_2).]

Passo 6

Calcular \det(C_{11}-\lambda I_3) passo a passo:
C_{11}-\lambda I_3=\begin{pmatrix}-5-\lambda & 0 & 0 \\[4pt] -1 & -3-\lambda & 1 \\[4pt] -6 & -1 & -5-\lambda\end{pmatrix}.
De novo a primeira linha tem zeros nas colunas 2 e 3, então
\det(C_{11}-\lambda I_3)=(-5-\lambda)\cdot \det\begin{pmatrix}-3-\lambda & 1 \\[4pt] -1 & -5-\lambda\end{pmatrix}.
Calcule o 2\times2:
\begin{aligned} \det\begin{pmatrix}-3-\lambda & 1 \\\\ -1 & -5-\lambda\end{pmatrix} &=(-3-\lambda)(-5-\lambda)-1\cdot(-1)\\[4pt] &=(\lambda+3)(\lambda+5)+1\\[4pt] &=\lambda^2+8\lambda+16=(\lambda+4)^2. \end{aligned}
Logo
\det(C_{11}-\lambda I_3)=(-5-\lambda)\,(\lambda+4)^2.]

Passo 7

Calcular \det(C_{22}-\lambda I_2):
C_{22}-\lambda I_2=\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 \\[4pt] -1 & 3-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\begin{aligned} \det(C_{22}-\lambda I_2)&=(1-\lambda)(3-\lambda)-1\cdot(-1)\\[4pt] &=(1-\lambda)(3-\lambda)+1\\[4pt] &=\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2. \end{aligned}]

Passo 8

Juntando tudo:
\begin{aligned} p_A(\lambda)&=\det(B_{11}-\lambda I_3)\cdot\det(B_{22}-\lambda I_5)\\[4pt] &=\big((-3-\lambda)(\lambda+3)(\lambda+5)\big)\cdot\big((-5-\lambda)(\lambda+4)^2\big)\cdot\big((\lambda-2)^2\big). \end{aligned}
Agora reagrupando fatores semelhantes: note que (-3-\lambda)(\lambda+3)=-(\lambda+3)^2 e (-5-\lambda)(\lambda+5)=-(\lambda+5)^2, mas os sinais menos irão se cancelar porque há dois deles. Simplificando em termos das expressões do enunciado (fatores do tipo (-3-\lambda), (-5-\lambda), (-4-\lambda), (2-\lambda)), obtemos
p_A(\lambda)=(-3-\lambda)^2\,(-5-\lambda)^2\,(-4-\lambda)^2\,(2-\lambda)^2.]

Resposta

(D)

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