Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(-5-\lambda)^{3}(-4-\lambda)^{2}
(B) p_{c}^{A}(\lambda)=(4-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{3}(-2-\lambda)(3-\lambda)
(C) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(-5-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}(2-\lambda)
(D) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}(2-\lambda)^{2}
(E) p_{c}^{A}(\lambda)=(4-\lambda)^{2}(5-\lambda)^{2}(-2-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}
(F) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(-5-\lambda)^{3}(-4-\lambda)(2-\lambda)
(G) p_{c}^{A}(\lambda)=(4-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{2}(-2-\lambda)^{2}(3-\lambda)
(H) p_{c}^{A}(\lambda)=(4-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{2}
Passo 1
O enunciado pede: calcular o polinômio característico da matriz A de ordem 8 dada abaixo (e dá a dica de explorar a estrutura em blocos). As informações relevantes fornecidas no enunciado que vamos usar são:
Observações extraídas da própria matriz (dados relevantes):
As entradas nas linhas 4 a 8 e colunas 1 a 3 são todas zero (peguei isso da matriz acima).
Assim é natural particionar A em blocos conformes com a divisão \{1,2,3\} e \{4,5,6,7,8\}.
Nada mais é pedido além do polinômio característico p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar (explicadinho):
O polinômio característico de uma matriz A é definido por
p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Aqui I é a matriz identidade da mesma ordem de A e \lambda é a variável do polinômio.
Propriedade de matrizes em blocos (caso que aparece aqui): se escrevemos
Isso ocorre porque A-\lambda I mantém a forma em blocos superiores e o determinante de uma matriz triangular por blocos é o produto dos determinantes dos blocos diagonais. É uma ferramenta muito prática porque reduz o problema a determinantes menores.
Passo 3
Aplicando a observação da Passo 1: vamos particionar A em blocos conforme índices 1\!:\!3 e 4\!:\!8. Do enunciado (peguei da matriz) vemos que o bloco B_{21} (linhas 4\!:\!8, colunas 1\!:\!3) é a matriz zero. Então A tem a forma block-upper-triangular e
Obs.: podemos deixar esse fator como produto de fatores do tipo (-3-\lambda) etc., pois as opções usam essa notação.]
Passo 5
Analisar B_{22} em blocos menores (pegando da própria B_{22}): note que as duas últimas linhas (linhas correspondentes a índices 7,8 da matriz original) têm zeros nas três primeiras colunas do bloco, isto é, dentro de B_{22} o bloco inferior-esquerdo é zero. Então particionamos B_{22} como
Agora reagrupando fatores semelhantes: note que (-3-\lambda)(\lambda+3)=-(\lambda+3)^2 e (-5-\lambda)(\lambda+5)=-(\lambda+5)^2, mas os sinais menos irão se cancelar porque há dois deles. Simplificando em termos das expressões do enunciado (fatores do tipo (-3-\lambda), (-5-\lambda), (-4-\lambda), (2-\lambda)), obtemos