Q15: Seja p(x)=-4-8 x-10 x^{2} \mathrm{e}
\beta=\left\{1+x+x^{2}, \quad 2+4 x+4 x^{2}, \quad 3+5 x+3 x^{2}\right\}
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) 3
(B) -2
(C) -3
(D) -4
(E) -1
(F) 4
(G) 1
(H) 2

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
p(x) = -4 - 8x - 10x^2
e a base
\beta = \{\,1 + x + x^2,\;\;2 + 4x + 4x^2,\;\;3 + 5x + 3x^2\}
do espaço dos polinômios de grau até 2. Precisamos encontrar as coordenadas [p]_{\beta} = (a,b,c) tal que
p(x) = a\,(1+x+x^2) \;+\; b\,(2+4x+4x^2) \;+\; c\,(3+5x+3x^2),
em particular determinando o valor de c.

Passo 2

Expandindo a combinação linear, obtemos
a(1+x+x^2) + b(2+4x+4x^2) + c(3+5x+3x^2) = (a+2b+3c) + (a+4b+5c)\,x + (a+4b+3c)\,x^2.
Comparando com p(x)=-4-8x-10x^2, formamos o sistema
\begin{cases} a + 2b + 3c = -4,\\\ a + 4b + 5c = -8,\\\ a + 4b + 3c = -10. \end{cases}

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(a+4b+5c) - (a+2b+3c) = -8 - (-4) \quad\Longrightarrow\quad 2b + 2c = -4 \quad\Longrightarrow\quad b + c = -2.
Subtraindo a segunda da terceira:
(a+4b+3c) - (a+4b+5c) = -10 - (-8) \quad\Longrightarrow\quad -2c = -2 \quad\Longrightarrow\quad c = 1.

Passo 4

Concluímos que a terceira coordenada de [p]_{\beta} é
c = 1.

Resposta

1

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