Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
I - Existe um subconjunto LI de
com 7 vetores que não gera
.
II - Existe subconjunto LI de
com 8 vetores.
III - Nenhum subconjunto de
com 8 vetores é uma base de
.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.
I - Existe um subconjunto LI de
II - Existe subconjunto LI de
III - Nenhum subconjunto de
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
com
e pede para avaliar as afirmações sobre existência de subconjuntos linearmente independentes (LI) de certos tamanhos e bases. Vamos usar os fatos de teoria de espaços vetoriais: todo conjunto LI com cardinal igual à dimensão é base (logo gera o espaço) e não existem conjuntos LI com cardinal maior que a dimensão.
Passo 2
Analisando I: “Existe um subconjunto LI de
com
vetores que não gera
.”
Por definição, qualquer conjunto LI de tamanho igual a é uma base de
e, portanto, gera
. Logo, I é falsa.
Por definição, qualquer conjunto LI de tamanho igual a
Passo 3
Analisando II: “Existe subconjunto LI de
com
vetores.”
Pela propriedade da dimensão, não há como ter mais de vetores LI em
. Assim, II é falsa.
Pela propriedade da dimensão, não há como ter mais de
Passo 4
Analisando III: “Nenhum subconjunto de
com
vetores é uma base de
.”
Uma base de deve ter exatamente
vetores. Qualquer conjunto de
vetores ou não existe como LI, ou então não satisfaz a condição de tamanho, logo não pode ser base. Assim, III é verdadeira.
Uma base de
Passo 5
Somente a afirmação III é verdadeira.
Resposta
(E) Apenas III é verdadeira.