Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
I - Existe um subconjunto LI de V com 7 vetores que não gera V.
II - Existe subconjunto LI de V com 8 vetores.
III - Nenhum subconjunto de V com 8 vetores é uma base de V.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V com \dim(V)=7 e pede para avaliar as afirmações sobre existência de subconjuntos linearmente independentes (LI) de certos tamanhos e bases. Vamos usar os fatos de teoria de espaços vetoriais: todo conjunto LI com cardinal igual à dimensão é base (logo gera o espaço) e não existem conjuntos LI com cardinal maior que a dimensão.

Passo 2

Analisando I: “Existe um subconjunto LI de V com 7 vetores que não gera V.”
Por definição, qualquer conjunto LI de tamanho igual a \dim(V)=7 é uma base de V e, portanto, gera V. Logo, I é falsa.

Passo 3

Analisando II: “Existe subconjunto LI de V com 8 vetores.”
Pela propriedade da dimensão, não há como ter mais de 7 vetores LI em V. Assim, II é falsa.

Passo 4

Analisando III: “Nenhum subconjunto de V com 8 vetores é uma base de V.”
Uma base de V deve ter exatamente \dim(V)=7 vetores. Qualquer conjunto de 8 vetores ou não existe como LI, ou então não satisfaz a condição de tamanho, logo não pode ser base. Assim, III é verdadeira.

Passo 5

Somente a afirmação III é verdadeira.

Resposta

(E) Apenas III é verdadeira.

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