Q15:Seja p(x)=-4+21 x-23 x^{2} e \beta=\left\{2-4 x+4 x^{2}, \quad-1+5 x-5 x^{2}, \quad 2-3 x+x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinómios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -1
(B) 3
(C) -3
(D) 4
(E) 1
(F) -2
(G) 2
(H) -4

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
p(x) = -4 + 21x - 23x^2
e a base \beta = \{b_1,b_2,b_3\} do espaço dos polinômios de grau até 2, onde
b_1(x) = 2 - 4x + 4x^2,\quad b_2(x) = -1 + 5x - 5x^2,\quad b_3(x) = 2 - 3x + x^2.
Precisamos achar escalares a,b,c tais que
p(x) = a\,b_1(x) + b\,b_2(x) + c\,b_3(x),
e então determinar o valor de c.

Passo 2

Expandindo a combinação linear, temos
a(2 - 4x + 4x^2) + b(-1 + 5x - 5x^2) + c(2 - 3x + x^2) = (2a - b + 2c) +(-4a +5b -3c)x +(4a -5b + c)x^2.

Passo 3

Comparando coeficientes com p(x)=-4 +21x -23x^2, obtemos o sistema
\begin{cases} 2a - b + 2c = -4,\\\\ -4a +5b -3c = 21,\\\\ 4a -5b + c = -23. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação isolamos b:
2a - b +2c = -4 \quad\Longrightarrow\quad b = 2a + 2c + 4.

Passo 5

Substituindo b nas outras duas equações:
-4a +5(2a+2c+4) -3c = 21 \quad\Longrightarrow\quad 6a +7c =1,
4a -5(2a+2c+4) +c = -23 \quad\Longrightarrow\quad 6a +9c =3.

Passo 6

Subtraindo as duas últimas equações:
(6a+9c) - (6a+7c) = 3 - 1 \quad\Longrightarrow\quad 2c = 2 \quad\Longrightarrow\quad c = 1.

Resposta

1

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