Q13: Determine a dimensão de \operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1 \\\\ -2 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 1 \\\\ 6 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 7 \\\\ 2 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -2 \\\\ -4 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão de \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} em \mathbb{R}^{4}, onde
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix},\; v_{2}=\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 6\\\ 1\end{pmatrix},\; v_{3}=\begin{pmatrix}-1\\\ 7\\\ 2\\\ -3\end{pmatrix},\; v_{4}=\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ -4\\\ 0\end{pmatrix}.
Para encontrar a dimensão do span, precisamos determinar quantos desses vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Observamos que
v_{4}=2\,v_{1},
logo v_{4} é combinação linear de v_{1} e não contribui para aumentar a dimensão. Podemos ignorar v_{4}.

Passo 3

Verificamos se v_{1} e v_{2} são independentes. Se existisse \lambda tal que \lambda\,v_{1}=v_{2}, então teríamos simultaneamente
\lambda\cdot1=-3 \quad\text{e}\quad \lambda\cdot(-1)=1,
o que daria \lambda=-3 e \lambda=-1, contradição. Portanto v_{1} e v_{2} são independentes.

Passo 4

Agora testamos se v_{3}\) está no span de \(v_{1},v_{2}\). Procuramos \(a,b\) tais que \[a\,v_{1}+b\,v_{2}=v_{3}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} a-3b=-1,\\\\ -a+b=7,\\\\ -2a+6b=2,\\\ b=-3\\ . \end{cases}
Da última equação vem b=-3\]. Substituindo em \(-a+b=7 -a-3=7\implies a=-10. As outras equações também se satisfazem, então v_{3}=-10\,v_{1}-3\,v_{2}, ou seja, v_{3} é dependente de v_{1},v_{2}.

Passo 5

Concluímos que apenas v_{1} e v_{2} são linearmente independentes. Portanto
\dim\bigl(\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}\bigr)=2.

Resposta

(C) 2

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