Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 8. Considere as afirmativas abaixo:
I. Todo subconjunto LI de V com 8 vetores gera V.
II. Nenhum subconjunto de V com 9 vetores é uma base de V.
III. Todo subconjunto LI de V possui no máximo 8 vetores.
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só II e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá que \dim(V)=8. São apresentadas três afirmativas e pede-se identificar quais são verdadeiras:
I. Todo subconjunto LI de V com 8 vetores gera V.
II. Nenhum subconjunto de V com 9 vetores é uma base de V.
III. Todo subconjunto LI de V possui no máximo 8 vetores.
Lista das informações relevantes:
  • A dimensão de V é \dim(V)=8.
  • “LI” significa “linearmente independente”.
  • “Gerar V” significa que o subconjunto tem span igual a V.
  • Uma base é um conjunto que é simultaneamente linearmente independente e gera V.

Passo 2

Vamos revisar com calma os conceitos fundamentais (explicando cada termo para você poder usar na prova).
Definições e ideias essenciais:
  • Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se nenhuma combinação linear não trivial deles dá o vetor zero. Em símbolos: um conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é LI se a única solução do sistema \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0 é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0.
  • Um conjunto de vetores gera V (ou é gerador de V) se todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Em símbolos: \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}=V.
  • Uma base de V é um conjunto que é LI e gera V.
  • A dimensão \dim(V) é, por definição, o número de vetores em qualquer base de V. Isso significa que todas as bases de V têm exatamente \dim(V) vetores.
Exemplo concreto e intuitivo (para fixar): em \mathbb{R}^2 temos \dim(\mathbb{R}^2)=2. Dois vetores LI (por exemplo (1,0) e (0,1)) formam uma base e geram \mathbb{R}^2. Três vetores em \mathbb{R}^2 sempre serão linearmente dependentes (não podem formar base) e qualquer conjunto LI tem no máximo 2 vetores.

Passo 3

Teoremas úteis (e por que são verdadeiros, de forma enxuta):
  1. Se \dim(V)=n, então todo conjunto LI em V tem no máximo n vetores. Raciocínio: se existisse um conjunto LI com mais de n vetores, poder-se-ia estender ou comparar com uma base de n vetores e obter contradição com a definição de dimensão (uma base tem tamanho máximo de independência). Essa é uma propriedade padrão de espaços de dimensão finita.
  2. Se \dim(V)=n e um conjunto LI tem exatamente n vetores, então ele é uma base (ou seja, também gera V). Raciocínio: suponha que existe uma base com n vetores. Um conjunto LI com n vetores não pode ser estritamente contido em um conjunto LI maior (já que n é o máximo), então não há como não gerar V; formalmente, se um conjunto LI não gerasse V, poderia-se adicionar um vetor fora do span e obter um conjunto LI maior, contradizendo maximalidade.
  3. Consequência: todo conjunto gerador tem pelo menos n vetores, e todo conjunto LI tem no máximo n vetores; portanto toda base tem exatamente n vetores.
Esses fatos são ferramentas que você deve lembrar na prova: “em espaço de dimensão n, bases têm exatamente n vetores; LI ⇒ tamanho ≤ n; tamanho n e LI ⇒ gera (é base)”.

Passo 4

Aplicando aos itens — análise da afirmativa I.
I. “Todo subconjunto LI de V com 8 vetores gera V.”
  • Aqui \dim(V)=8. Pela propriedade 2) acima, qualquer conjunto LI com exatamente n= 8 vetores é uma base.
  • Como base gera V, concluímos que qualquer subconjunto LI de V com 8 vetores realmente gera V.
Portanto a afirmativa I é verdadeira.

Passo 5

Aplicando aos itens — análise da afirmativa II.
II. “Nenhum subconjunto de V com 9 vetores é uma base de V.”
  • Uma base de V deve ter exatamente \dim(V)=8 vetores. Um conjunto com 9 vetores tem cardinalidade maior do que 8.
  • Em espaço de dimensão 8 todo conjunto com mais de 8 vetores é necessariamente linearmente dependente (pela propriedade 1)). Logo um conjunto com 9 vetores não pode ser LI.
  • Como uma base precisa ser LI, um conjunto com 9 vetores não pode ser base.
Portanto a afirmativa II é verdadeira.

Passo 6

Aplicando aos itens — análise da afirmativa III.
III. “Todo subconjunto LI de V possui no máximo 8 vetores.”
  • Isto é exatamente a propriedade 1): num espaço de dimensão n nenhum conjunto LI pode ter mais do que n vetores.
  • Como \dim(V)=8, qualquer subconjunto LI tem tamanho ≤ 8.
Portanto a afirmativa III é verdadeira.

Passo 7

Conclusão final: I, II e III são verdadeiras simultaneamente. Ou seja, todas as afirmativas são verdadeiras.
Força aí — isso é um daqueles resultados que aparecem muito em provas: decorando “bases têm exatamente \dim vetores” você resolve I, II e III rapidamente.

Resposta

(G) Todas são verdadeiras.

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