Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 8. Considere as afirmativas abaixo:
I. Todo subconjunto LI de
com 8 vetores gera
.
II. Nenhum subconjunto de
com 9 vetores é uma base de
.
III. Todo subconjunto LI de
possui no máximo 8 vetores.
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só II e III são verdadeiras.
I. Todo subconjunto LI de
II. Nenhum subconjunto de
III. Todo subconjunto LI de
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só II e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá que
. São apresentadas três afirmativas e pede-se identificar quais são verdadeiras:
I. Todo subconjunto LI de com
vetores gera
.
II. Nenhum subconjunto de com
vetores é uma base de
.
III. Todo subconjunto LI de possui no máximo
vetores.
I. Todo subconjunto LI de
II. Nenhum subconjunto de
III. Todo subconjunto LI de
Lista das informações relevantes:
- A dimensão de
é . - “LI” significa “linearmente independente”.
- “Gerar
” significa que o subconjunto tem span igual a . - Uma base é um conjunto que é simultaneamente linearmente independente e gera
.
Passo 2
Vamos revisar com calma os conceitos fundamentais (explicando cada termo para você poder usar na prova).
Definições e ideias essenciais:
- Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se nenhuma combinação linear não trivial deles dá o vetor zero. Em símbolos: um conjunto
é LI se a única solução do sistema é . - Um conjunto de vetores gera
(ou é gerador de ) se todo vetor de pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Em símbolos: . - Uma base de
é um conjunto que é LI e gera . - A dimensão
é, por definição, o número de vetores em qualquer base de . Isso significa que todas as bases de têm exatamente vetores.
Exemplo concreto e intuitivo (para fixar): em
temos
. Dois vetores LI (por exemplo
e
) formam uma base e geram
. Três vetores em
sempre serão linearmente dependentes (não podem formar base) e qualquer conjunto LI tem no máximo
vetores.
Passo 3
Teoremas úteis (e por que são verdadeiros, de forma enxuta):
- Se
, então todo conjunto LI em tem no máximo vetores. Raciocínio: se existisse um conjunto LI com mais de vetores, poder-se-ia estender ou comparar com uma base de vetores e obter contradição com a definição de dimensão (uma base tem tamanho máximo de independência). Essa é uma propriedade padrão de espaços de dimensão finita. - Se
e um conjunto LI tem exatamente vetores, então ele é uma base (ou seja, também gera ). Raciocínio: suponha que existe uma base com vetores. Um conjunto LI com vetores não pode ser estritamente contido em um conjunto LI maior (já que é o máximo), então não há como não gerar ; formalmente, se um conjunto LI não gerasse , poderia-se adicionar um vetor fora do span e obter um conjunto LI maior, contradizendo maximalidade. - Consequência: todo conjunto gerador tem pelo menos
vetores, e todo conjunto LI tem no máximo vetores; portanto toda base tem exatamente vetores.
Esses fatos são ferramentas que você deve lembrar na prova: “em espaço de dimensão
, bases têm exatamente
vetores; LI ⇒ tamanho ≤
; tamanho
e LI ⇒ gera (é base)”.
Passo 4
Aplicando aos itens — análise da afirmativa I.
I. “Todo subconjunto LI de
com
vetores gera
.”
- Aqui
. Pela propriedade 2) acima, qualquer conjunto LI com exatamente vetores é uma base. - Como base gera
, concluímos que qualquer subconjunto LI de com vetores realmente gera .
Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Passo 5
Aplicando aos itens — análise da afirmativa II.
II. “Nenhum subconjunto de
com
vetores é uma base de
.”
- Uma base de
deve ter exatamente vetores. Um conjunto com vetores tem cardinalidade maior do que . - Em espaço de dimensão
todo conjunto com mais de vetores é necessariamente linearmente dependente (pela propriedade 1)). Logo um conjunto com vetores não pode ser LI. - Como uma base precisa ser LI, um conjunto com
vetores não pode ser base.
Portanto a afirmativa II é verdadeira.
Passo 6
Aplicando aos itens — análise da afirmativa III.
III. “Todo subconjunto LI de
possui no máximo
vetores.”
- Isto é exatamente a propriedade 1): num espaço de dimensão
nenhum conjunto LI pode ter mais do que vetores. - Como
, qualquer subconjunto LI tem tamanho ≤ .
Portanto a afirmativa III é verdadeira.
Passo 7
Conclusão final: I, II e III são verdadeiras simultaneamente. Ou seja, todas as afirmativas são verdadeiras.
Força aí — isso é um daqueles resultados que aparecem muito em provas: decorando “bases têm exatamente
vetores” você resolve I, II e III rapidamente.
Resposta
(G) Todas são verdadeiras.