A pergunta é: qual é a dimensão de \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\} (ou seja, quantos desses vetores são linearmente independentes).
Passo 2
Estratégia que vamos usar (sem resolver ainda): montar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4 e calcular o posto (rank) por eliminação de Gauss. Explicação curta do porquê:
A dimensão do espaço gerado pelas colunas é igual ao posto da matriz (número de colunas linearmente independentes).
Ao fazer eliminação por linhas (operações elementares nas linhas) obtemos uma forma em escada; o número de linhas não-nulas nessa forma é o posto da matriz e, portanto, a dimensão do span das colunas.
Vou aplicar essa técnica passo a passo.
Logo R_3 é múltiplo de R_2 e R_4 é igual a R_2. Portanto, entre R_2,R_3,R_4 só há uma linha independente. Juntando com R_1 (que tem entrada não nula na primeira coluna, diferente de zero nas posições onde R_2 tem zero), temos exatamente duas linhas linearmente independentes: R_1 e R_2.
Portanto a forma em escada tem duas linhas não-nulas. Conclusão direta: o posto de A é 2, e a dimensão do span das colunas é 2.
Passo 6
Para reforçar e deixar bem claro como isso aparece em termos dos vetores originais, mostro expressões lineares que provam dependência dos vetores v_3 e v_4 em relação a v_1 e v_2.
Procuramos escalares a,b tais que a v_1 + b v_2 = v_3.
Das componentes da quarta linha vem 3b=-6\Rightarrow b=-2. Substituindo nas demais:
a + 2(-2) = -3 \Rightarrow a-4=-3 \Rightarrow a=1.
Verificando nas outras componentes, funciona. Logo
v_3 = 1\cdot v_1 + (-2)\cdot v_2 = v_1 - 2v_2.
Para v_4 procuramos c,d com c v_1 + d v_2 = v_4.
Da quarta componente vem 3d=-9\Rightarrow d=-3. Então
c + 2(-3) = -2 \Rightarrow c-6=-2 \Rightarrow c=4.
Verifica-se nas demais componentes. Logo
v_4 = 4v_1 - 3v_2.
Essas equalidades mostram que v_3 e v_4 estão no span\{v_1,v_2\}, portanto só v_1 e v_2 são suficientes para gerar todo o conjunto — confirmando dimensão 2.