Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1 \\\\ 3 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 1 \\\\ 4 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-3 \\\\ -3 \\\\ -5 \\\\ -6\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -7 \\\\ 0 \\\\ -9\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço gerado pelos quatro vetores
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 4\\\ 3\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}-3\\\ -3\\\ -5\\\ -6\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}-2\\\ -7\\\ 0\\\ -9\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • Há quatro vetores em \mathbb{R}^4.
  • A pergunta é: qual é a dimensão de \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\} (ou seja, quantos desses vetores são linearmente independentes).

Passo 2

Estratégia que vamos usar (sem resolver ainda): montar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4 e calcular o posto (rank) por eliminação de Gauss. Explicação curta do porquê:
  • A dimensão do espaço gerado pelas colunas é igual ao posto da matriz (número de colunas linearmente independentes).
  • Ao fazer eliminação por linhas (operações elementares nas linhas) obtemos uma forma em escada; o número de linhas não-nulas nessa forma é o posto da matriz e, portanto, a dimensão do span das colunas.
    Vou aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 3

Formo a matriz A com os vetores como colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & -2\\[4pt] -1 & 1 & -3 & -7\\[4pt] 3 & 4 & -5 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -6 & -9 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Fazer eliminação por linhas. Primeiro objetivo: eliminar o -1 em a_{21} e eliminar outros abaixo do pivô da primeira coluna com uso de R_1.
Aplico R_2\leftarrow R_2+R_1 e R_3\leftarrow R_3-3R_1. R_4 já tem zero na primeira coluna.
Cálculo:
  • R_2+R_1 = (-1+1,\;1+2,\;-3-3,\;-7-2) = (0,3,-6,-9).
  • R_3-3R_1 = (3-3,\;4-6,\;-5+9,\;0+6) = (0,-2,4,6).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 3 & -6 & -9\\[4pt] 0 & -2 & 4 & 6\\[4pt] 0 & 3 & -6 & -9 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora observe as linhas R_2,R_3,R_4.
  • R_2=(0,3,-6,-9)=3\cdot(0,1,-2,-3).
  • R_3=(0,-2,4,6)=-2\cdot(0,1,-2,-3).
  • R_4=(0,3,-6,-9)=R_2.
Logo R_3 é múltiplo de R_2 e R_4 é igual a R_2. Portanto, entre R_2,R_3,R_4 só há uma linha independente. Juntando com R_1 (que tem entrada não nula na primeira coluna, diferente de zero nas posições onde R_2 tem zero), temos exatamente duas linhas linearmente independentes: R_1 e R_2.
Portanto a forma em escada tem duas linhas não-nulas. Conclusão direta: o posto de A é 2, e a dimensão do span das colunas é 2.

Passo 6

Para reforçar e deixar bem claro como isso aparece em termos dos vetores originais, mostro expressões lineares que provam dependência dos vetores v_3 e v_4 em relação a v_1 e v_2.
Procuramos escalares a,b tais que a v_1 + b v_2 = v_3.
Das componentes da quarta linha vem 3b=-6\Rightarrow b=-2. Substituindo nas demais:
a + 2(-2) = -3 \Rightarrow a-4=-3 \Rightarrow a=1.
Verificando nas outras componentes, funciona. Logo
v_3 = 1\cdot v_1 + (-2)\cdot v_2 = v_1 - 2v_2.
Para v_4 procuramos c,d com c v_1 + d v_2 = v_4.
Da quarta componente vem 3d=-9\Rightarrow d=-3. Então
c + 2(-3) = -2 \Rightarrow c-6=-2 \Rightarrow c=4.
Verifica-se nas demais componentes. Logo
v_4 = 4v_1 - 3v_2.
Essas equalidades mostram que v_3 e v_4 estão no span \{v_1,v_2\}, portanto só v_1 e v_2 são suficientes para gerar todo o conjunto — confirmando dimensão 2.

Resposta

(C) 2

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