Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto de todos
tais que
, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
II. O conjunto das matrizes
onde
(
é a entrada da matriz
da linha
, coluna
) é um subespaço vetorial.
III. O conjunto
é um subespaço vetorial.
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
I. O conjunto de todos
II. O conjunto das matrizes
III. O conjunto
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
São apresentadas três afirmativas sobre subespaços:
I. O conjunto de todos os vetorestais que , onde é uma matriz .
II. O conjunto das matrizescujo elemento da linha 2, coluna 2 satisfaz .
III. O conjunto(conjunto formado por um único vetor). -
A pergunta implícita: para cada uma das afirmativas, determinar se ela é verdadeira (o conjunto descrito é um subespaço vetorial) ou falsa. No final, escolher a alternativa correta entre as dadas.
Passo 2
Relembrando, com calma, o que significa “ser um subespaço vetorial” (isso é essencial para a prova).
-
Definição prática: um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se e somente se: -
contém o vetor zero de . -
é fechado sob soma: se então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
-
-
Observação útil: frequentemente é mais curto mostrar que
é o núcleo (kernel) de uma transformação linear; todo núcleo de transformação linear é subespaço, porque se é linear e e então e , e o zero está no núcleo.
Agora vamos testar cada afirmativa aplicando essas ideias passo a passo.
Passo 3
Analisando a afirmativa I: “O conjunto de todos
tais que
, onde
é
, é subespaço?”
- Identificar o conjunto: é exatamente o núcleo da aplicação linear
dada por . - Mostrar que núcleo é subespaço (fazendo as três verificações explicitamente):
- Zero:
, logo . - Soma: sejam
tais que e . Então logo pertence ao conjunto. - Multiplicação escalar: seja
e com . Então logo pertence ao conjunto.
- Zero:
- Conclusão: todas as propriedades de subespaço são satisfeitas; portanto a afirmativa I é verdadeira.
(Dica para a prova: sempre que vir “todos
tais que
” pense automaticamente “kernel” — isso já indica subespaço.)
Passo 4
Analisando a afirmativa II: “O conjunto das matrizes
em que
é subespaço?”
- Denotar o conjunto por
- Verificações:
- Zero: a matriz nula
tem e , e porque . Logo . - Soma: sejam
. Então satisfaz e satisfaz . Para a soma o elemento e . Então ou seja, . - Multiplicação escalar: seja
e . Então e . Como , logo .
- Zero: a matriz nula
- Observação alternativa (mais elegante): definir a aplicação linear
por . Essa é linear e . Assim é núcleo de transformação linear e portanto subespaço. - Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmativa III: “O conjunto
é subespaço?”
- Primeiro teste rápido: um subespaço deve conter o vetor zero
. O conjunto dado contém apenas o vetor , que não é o zero. Logo o conjunto não contém o zero, e por isso não pode ser subespaço. - Outro teste imediado (falha de fechamento sob escala): pegar
. Para o vetor pertence ao conjunto, mas então a multiplicação por escalares falha. Também a soma falha: . - Conclusão: a afirmativa III é falsa.
(Dica prática: qualquer conjunto formado por um único vetor não nulo nunca é subespaço — o único singleton que é subespaço é
.)
Passo 6
Conclusão final combinando os resultados dos passos anteriores:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
- III é falsa.
Portanto a alternativa correta é a que diz “Só I e II são verdadeiras”.
Resposta
(F)