Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{2} tais que A \vec{v}=0, onde A é uma matriz 6 \times 2 é um subespaço vetorial.
II. O conjunto das matrizes A_{3 \times 3} onde a_{22}=-a_{33} ( a_{i j} é a entrada da matriz A da linha i, coluna j ) é um subespaço vetorial.
III. O conjunto \{(1,1,1,1)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial.
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • São apresentadas três afirmativas sobre subespaços:
    I. O conjunto de todos os vetores \vec{v}\in\mathbb{R}^{2} tais que A\vec{v}=0, onde A é uma matriz 6\times2.
    II. O conjunto das matrizes 3\times3 cujo elemento da linha 2, coluna 2 satisfaz a_{22}=-a_{33}.
    III. O conjunto \{(1,1,1,1)\}\subset\mathbb{R}^{4} (conjunto formado por um único vetor).
  • A pergunta implícita: para cada uma das afirmativas, determinar se ela é verdadeira (o conjunto descrito é um subespaço vetorial) ou falsa. No final, escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Relembrando, com calma, o que significa “ser um subespaço vetorial” (isso é essencial para a prova).
  • Definição prática: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
    1. W contém o vetor zero de V.
    2. W é fechado sob soma: se u,v\in W então u+v\in W.
    3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c u\in W.
  • Observação útil: frequentemente é mais curto mostrar que W é o núcleo (kernel) de uma transformação linear; todo núcleo de transformação linear é subespaço, porque se T é linear e T(u)=0 e T(v)=0 então T(u+v)=T(u)+T(v)=0 e T(cu)=cT(u)=0, e o zero está no núcleo.
Agora vamos testar cada afirmativa aplicando essas ideias passo a passo.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: “O conjunto de todos \vec{v}\in\mathbb{R}^{2} tais que A\vec{v}=0, onde A é 6\times2, é subespaço?”
  • Identificar o conjunto: é exatamente o núcleo da aplicação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{6} dada por T(\vec{v})=A\vec{v}.
  • Mostrar que núcleo é subespaço (fazendo as três verificações explicitamente):
    1. Zero: \,A\mathbf{0}=\mathbf{0}, logo \mathbf{0}\in\{\vec{v}\mid A\vec{v}=0\}.
    2. Soma: sejam \vec{u},\vec{v} tais que A\vec{u}=0 e A\vec{v}=0. Então A(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}=0+0=0,logo \vec{u}+\vec{v} pertence ao conjunto.
    3. Multiplicação escalar: seja c\in\mathbb{R} e \vec{v} com A\vec{v}=0. Então A(c\vec{v})=c(A\vec{v})=c\cdot 0=0,logo c\vec{v} pertence ao conjunto.
  • Conclusão: todas as propriedades de subespaço são satisfeitas; portanto a afirmativa I é verdadeira.
(Dica para a prova: sempre que vir “todos \vec{v} tais que A\vec{v}=0” pense automaticamente “kernel” — isso já indica subespaço.)

Passo 4

Analisando a afirmativa II: “O conjunto das matrizes 3\times3 em que a_{22}=-a_{33} é subespaço?”
  • Denotar o conjunto por S=\{\,M\in M_{3\times3}(\mathbb{R}) \mid m_{22}=-m_{33}\,\}.
  • Verificações:
    1. Zero: a matriz nula 0 tem 0_{22}=0 e 0_{33}=0, e 0_{22}=-0_{33} porque 0=-0. Logo 0\in S.
    2. Soma: sejam M,N\in S. Então M satisfaz m_{22}=-m_{33} e N satisfaz n_{22}=-n_{33}. Para a soma M+N o elemento (M+N)_{22}=m_{22}+n_{22} e (M+N)_{33}=m_{33}+n_{33}. Então (M+N)_{22}=m_{22}+n_{22}=-(m_{33}+n_{33})=-(M+N)_{33},ou seja, M+N\in S.
    3. Multiplicação escalar: seja c\in\mathbb{R} e M\in S. Então (cM)_{22}=c m_{22} e (cM)_{33}=c m_{33}. Como m_{22}=-m_{33}, (cM)_{22}=c m_{22} = -c m_{33} = -(cM)_{33},logo cM\in S.
  • Observação alternativa (mais elegante): definir a aplicação linear \varphi:M_{3\times3}\to\mathbb{R} por \varphi(M)=m_{22}+m_{33}. Essa \varphi é linear e S=\ker\varphi. Assim S é núcleo de transformação linear e portanto subespaço.
  • Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmativa III: “O conjunto \{(1,1,1,1)\}\subset\mathbb{R}^{4} é subespaço?”
  • Primeiro teste rápido: um subespaço deve conter o vetor zero \mathbf{0}=(0,0,0,0). O conjunto dado contém apenas o vetor (1,1,1,1), que não é o zero. Logo o conjunto não contém o zero, e por isso não pode ser subespaço.
  • Outro teste imediado (falha de fechamento sob escala): pegar c=0. Para o vetor v=(1,1,1,1) pertence ao conjunto, mas 0\cdot v = (0,0,0,0)\notin\{(1,1,1,1)\},então a multiplicação por escalares falha. Também a soma falha: v+v=(2,2,2,2)\notin\{(1,1,1,1)\}.
  • Conclusão: a afirmativa III é falsa.
(Dica prática: qualquer conjunto formado por um único vetor não nulo nunca é subespaço — o único singleton que é subespaço é \{\mathbf{0}\}.)

Passo 6

Conclusão final combinando os resultados dos passos anteriores:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é falsa.
Portanto a alternativa correta é a que diz “Só I e II são verdadeiras”.

Resposta

(F)

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