Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
I. Existe subconjunto LI de V com 6 vetores.
II. Nenhum subconjunto de V com 4 vetores gera V.
III. Nenhum subconjunto de V com 6 vetores é uma base de V.
(A) Só I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V com \dim(V)=5 e apresenta três afirmativas:
I. Existe subconjunto linearmente independente (LI) de V com 6 vetores.
II. Nenhum subconjunto de V com 4 vetores gera V.
III. Nenhum subconjunto de V com 6 vetores é uma base de V.
A tarefa é determinar quais dessas afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Vamos lembrar conceitos e fatos essenciais (devagarinho, passo a passo):
  • Definição: um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se nenhuma combinação linear não-trivial deles dá o vetor zero.
  • Definição: um conjunto gera V (é gerador) se toda v\in V pode ser escrita como combinação linear dos vetores desse conjunto.
  • Definição: uma base de V é um conjunto que é simultaneamente LI e gerador.
Teoremas fundamentais sobre dimensão finita (essas são as ferramentas que sempre usamos):
  1. Se \dim(V)=n, então toda base de V tem exatamente n vetores. Ou seja, qualquer base tem cardinalidade n.
  2. Em consequência, qualquer conjunto LI em V tem no máximo n vetores. (Porque se tivesse mais, poderia ser estendido a uma base com mais de n vetores, contradizendo 1.)
  3. Em consequência, qualquer conjunto gerador de V tem pelo menos n vetores. (Porque de um gerador pode extrair-se uma base, cuja cardinalidade é n; logo o gerador não pode ter menos de n vetores.)
Vou explicar rapidamente por que o item 2 é verdadeiro (probe intuição):
  • Tome uma base B com n vetores. Cada vetor de qualquer conjunto em V é combinação linear dos vetores de B, então os vetores do conjunto correspondem a vetores em \mathbb{R}^n (coordenadas). Em \mathbb{R}^n já se sabe que n+1 vetores são linearmente dependentes. Portanto, em V não é possível ter n+1 vetores LI. (Exemplo concreto: em \mathbb{R}^2 não existem três vetores LI.)

Passo 3

Analisando a afirmativa I: “Existe subconjunto LI de V com 6 vetores.”
  • Temos \dim(V)=5. Pelo fato 2 acima, qualquer conjunto LI em V contém no máximo 5 vetores.
  • Logo não pode existir conjunto LI com 6 vetores. A afirmativa I é falsa.
Explicação informal: imaginar V como \mathbb{R}^5 — lá qualquer coleção de 6 vetores é linearmente dependente. Mesma ideia vale para qualquer espaço de dimensão 5.

Passo 4

Analisando a afirmativa II: “Nenhum subconjunto de V com 4 vetores gera V.”
  • Pelo fato 3, todo conjunto gerador de V deve ter pelo menos \dim(V)=5 vetores.
  • Um conjunto com 4 vetores tem menos do que 5, então não pode gerar V.
  • Portanto a afirmativa II é verdadeira.
Explicação prática: se 4 vetores gerassem V, extrairia-se uma base com no máximo 4 vetores, implicando \dim(V)\le 4, contradizendo \dim(V)=5.

Passo 5

Analisando a afirmativa III: “Nenhum subconjunto de V com 6 vetores é uma base de V.”
  • Uma base de V deve ser LI e gerar V. Pelo passo 3, qualquer conjunto com 6 vetores em V é necessariamente linearmente dependente (pois 6>5).
  • Logo um conjunto com 6 vetores não pode ser LI, portanto não pode ser base.
  • Assim a afirmativa III é verdadeira.
Resumo da lógica: base tem exatamente 5 vetores; 6 vetores não podem formar base.

Passo 6

Conclusão: a afirmativa I é falsa; as afirmativas II e III são verdadeiras. Portanto a alternativa correta é a que indica “Só II e III são verdadeiras”.

Resposta

(F)

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