Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
I. Existe subconjunto LI de
com 6 vetores.
II. Nenhum subconjunto de
com 4 vetores gera
.
III. Nenhum subconjunto de
com 6 vetores é uma base de
.
(A) Só I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.
I. Existe subconjunto LI de
II. Nenhum subconjunto de
III. Nenhum subconjunto de
(A) Só I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
com
e apresenta três afirmativas:
I. Existe subconjunto linearmente independente (LI) de com
vetores.
II. Nenhum subconjunto de com
vetores gera
.
III. Nenhum subconjunto de com
vetores é uma base de
.
I. Existe subconjunto linearmente independente (LI) de
II. Nenhum subconjunto de
III. Nenhum subconjunto de
A tarefa é determinar quais dessas afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta.
Passo 2
Vamos lembrar conceitos e fatos essenciais (devagarinho, passo a passo):
- Definição: um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se nenhuma combinação linear não-trivial deles dá o vetor zero.
- Definição: um conjunto gera
(é gerador) se toda pode ser escrita como combinação linear dos vetores desse conjunto. - Definição: uma base de
é um conjunto que é simultaneamente LI e gerador.
Teoremas fundamentais sobre dimensão finita (essas são as ferramentas que sempre usamos):
- Se
, então toda base de tem exatamente vetores. Ou seja, qualquer base tem cardinalidade . - Em consequência, qualquer conjunto LI em
tem no máximo vetores. (Porque se tivesse mais, poderia ser estendido a uma base com mais de vetores, contradizendo 1.) - Em consequência, qualquer conjunto gerador de
tem pelo menos vetores. (Porque de um gerador pode extrair-se uma base, cuja cardinalidade é ; logo o gerador não pode ter menos de vetores.)
Vou explicar rapidamente por que o item 2 é verdadeiro (probe intuição):
- Tome uma base
com vetores. Cada vetor de qualquer conjunto em é combinação linear dos vetores de , então os vetores do conjunto correspondem a vetores em (coordenadas). Em já se sabe que vetores são linearmente dependentes. Portanto, em não é possível ter vetores LI. (Exemplo concreto: em não existem três vetores LI.)
Passo 3
Analisando a afirmativa I: “Existe subconjunto LI de
com
vetores.”
- Temos
. Pelo fato 2 acima, qualquer conjunto LI em contém no máximo vetores. - Logo não pode existir conjunto LI com
vetores. A afirmativa I é falsa.
Explicação informal: imaginar
como
— lá qualquer coleção de
vetores é linearmente dependente. Mesma ideia vale para qualquer espaço de dimensão
.
Passo 4
Analisando a afirmativa II: “Nenhum subconjunto de
com
vetores gera
.”
- Pelo fato 3, todo conjunto gerador de
deve ter pelo menos vetores. - Um conjunto com
vetores tem menos do que , então não pode gerar . - Portanto a afirmativa II é verdadeira.
Explicação prática: se 4 vetores gerassem
, extrairia-se uma base com no máximo
vetores, implicando
, contradizendo
.
Passo 5
Analisando a afirmativa III: “Nenhum subconjunto de
com
vetores é uma base de
.”
- Uma base de
deve ser LI e gerar . Pelo passo 3, qualquer conjunto com vetores em é necessariamente linearmente dependente (pois ). - Logo um conjunto com
vetores não pode ser LI, portanto não pode ser base. - Assim a afirmativa III é verdadeira.
Resumo da lógica: base tem exatamente
vetores;
vetores não podem formar base.
Passo 6
Conclusão: a afirmativa I é falsa; as afirmativas II e III são verdadeiras. Portanto a alternativa correta é a que indica “Só II e III são verdadeiras”.
Resposta
(F)