Cada equação é uma restrição linear sobre as 18 coordenadas.
Passo 3
Explicar o conceito usado: o conjunto S é um subespaço linear de \mathbb{R}^{18} definido por um sistema homogêneo de equações lineares. Para um sistema linear homogêneo com n incógnitas e matriz de coeficientes de posto r, a dimensão do espaço solução é
\dim(\text{solução}) = n - r.çã
Aqui n=18. Então precisamos determinar o posto r das três equações (ou seja, o número de equações linearmente independentes entre elas).
Passo 4
Escrever a matriz de coeficientes A (com três linhas, uma para cada equação, e 18 colunas correspondendo a x_{1},\dots,x_{18}). Só aparecem coeficientes não nulos nas colunas 1,2,4,8; todas as outras colunas têm zeros. Uma forma compacta de A (mostrando apenas as entradas relevantes) é:
onde a primeira linha corresponde a x_{8}-x_{4}=0, a segunda a x_{1}-x_{2}=0 e a terceira a x_{1}+x_{8}-x_{2}-x_{4}=0. (As reticências indicam colunas nulas para as demais variáveis.)]
Passo 5
Verificar relações lineares entre as linhas de A. Observa-se que a terceira linha é exatamente a soma da primeira com a segunda:
Portanto a terceira equação é linearmente dependente das duas primeiras. Resta verificar se as duas primeiras são independentes entre si: como a primeira tem entradas não nulas apenas nas posições 4 e 8 e a segunda apenas nas posições 1 e 2, não existe escalar que transforme uma na outra — logo são linearmente independentes.
Passo 6
Concluir o posto: há exatamente 2 linhas linearmente independentes, então o posto da matriz de coeficientes é
r = 2.
Aplicando a fórmula da dimensão do espaço solução:
\dim(S) = n - r = 18 - 2 = 16.
Passo 7
Interpretação alternativa, intuitiva e prática (útil na prova): as duas restrições efetivas são apenas x_{1}=x_{2} e x_{8}=x_{4}. Ou seja, entre as 18 coordenadas duas são determinadas por outras duas, sobrando 18-2=16 graus de liberdade — portanto 16 dimensões. Dá pra parametrizar facilmente: escolher livremente as coordenadas \{x_{i}\}_{i\neq 2,8} (são 16 delas) e depois colocar x_{2}=x_{1}, x_{8}=x_{4}.