Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{18}\right) \in \mathbb{R}^{18} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{8} & =x_{4} \\\ x_{1} & =x_{2} \\\ x_{1}+x_{8} & =x_{2}+x_{4} \end{aligned}\right.
A dimensão de S é:
(A) 15
(B) 4
(C) 14
(D) 18
(E) 3
(F) 2
(G) 16
(H) 17

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S dos vetores \left(x_{1},\dots,x_{18}\right)\in\mathbb{R}^{18} que satisfazem as três igualdades:
\begin{aligned} x_{8} &= x_{4},\\\ x_{1} &= x_{2},\\\ x_{1}+x_{8} &= x_{2}+x_{4}. \end{aligned}
A pergunta é: qual é a dimensão de S? (Isso corresponde a escolher uma das alternativas fornecidas.)

Passo 2

Interpretar cada uma das igualdades como uma equação linear homogênea (colocando tudo no lado esquerdo). As três restrições ficam:
\begin{aligned} x_{8}-x_{4} &= 0,\\\ x_{1}-x_{2} &= 0,\\\ x_{1}+x_{8}-x_{2}-x_{4} &= 0. \end{aligned}
Cada equação é uma restrição linear sobre as 18 coordenadas.

Passo 3

Explicar o conceito usado: o conjunto S é um subespaço linear de \mathbb{R}^{18} definido por um sistema homogêneo de equações lineares. Para um sistema linear homogêneo com n incógnitas e matriz de coeficientes de posto r, a dimensão do espaço solução é
\dim(\text{solução}) = n - r.çã
Aqui n=18. Então precisamos determinar o posto r das três equações (ou seja, o número de equações linearmente independentes entre elas).

Passo 4

Escrever a matriz de coeficientes A (com três linhas, uma para cada equação, e 18 colunas correspondendo a x_{1},\dots,x_{18}). Só aparecem coeficientes não nulos nas colunas 1,2,4,8; todas as outras colunas têm zeros. Uma forma compacta de A (mostrando apenas as entradas relevantes) é:
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\[4pt] 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\[4pt] 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix},
onde a primeira linha corresponde a x_{8}-x_{4}=0, a segunda a x_{1}-x_{2}=0 e a terceira a x_{1}+x_{8}-x_{2}-x_{4}=0. (As reticências indicam colunas nulas para as demais variáveis.)]

Passo 5

Verificar relações lineares entre as linhas de A. Observa-se que a terceira linha é exatamente a soma da primeira com a segunda:
(\text{linha 2}) + (\text{linha 1}) = \text{linha 3}.
Portanto a terceira equação é linearmente dependente das duas primeiras. Resta verificar se as duas primeiras são independentes entre si: como a primeira tem entradas não nulas apenas nas posições 4 e 8 e a segunda apenas nas posições 1 e 2, não existe escalar que transforme uma na outra — logo são linearmente independentes.

Passo 6

Concluir o posto: há exatamente 2 linhas linearmente independentes, então o posto da matriz de coeficientes é
r = 2.
Aplicando a fórmula da dimensão do espaço solução:
\dim(S) = n - r = 18 - 2 = 16.

Passo 7

Interpretação alternativa, intuitiva e prática (útil na prova): as duas restrições efetivas são apenas x_{1}=x_{2} e x_{8}=x_{4}. Ou seja, entre as 18 coordenadas duas são determinadas por outras duas, sobrando 18-2=16 graus de liberdade — portanto 16 dimensões. Dá pra parametrizar facilmente: escolher livremente as coordenadas \{x_{i}\}_{i\neq 2,8} (são 16 delas) e depois colocar x_{2}=x_{1}, x_{8}=x_{4}.

Resposta

(G) 16

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