O enunciado pede a dimensão do subespaço gerado (span) pelos quatro vetores em \mathbb{R}^4. Ou seja, quantos desses vetores são linearmente independentes — equivalente à dimensão do espaço coluna gerado por eles.
A pergunta explícita é: qual é \dim\!\big(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\})?
Passo 2
Estratégia e conceitos importantes (curtinha e prática):
A dimensão do span é o número máximo de vetores linearmente independentes dentre os dados.
Se colocarmos os vetores como colunas de uma matriz A, então a dimensão do span é o posto (rank) de A, isto é, o número de pivôs na forma escalonada por linhas.
Para encontrar o posto, aplicamos eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) até obter a forma escalonada; cada linha não-nula corresponde a um pivô.
Vou então montar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4 e reduzir por linhas.
Normalizar o pivot da coluna 2 dividindo R_2 por 3: R_2 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_2, e eliminar a entrada acima dele em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2. O resultado é
Portanto os três primeiros vetores coluna (não necessariamente exatamente os três primeiros originais, mas de fato existem 3 vetores linearmente independentes no conjunto) geram um subespaço de dimensão 3.
Em palavras amigáveis: entre os quatro vetores, há uma dependência linear que reduz a quantidade de vetores independentes para 3; assim a dimensão do span é 3.