Q13: Determine a dimensão de \operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -6 \\\\ 5 \\\\ -4\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -9 \\\\ 0 \\\\ -3\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço gerado (span) pelos quatro vetores em \mathbb{R}^4. Ou seja, quantos desses vetores são linearmente independentes — equivalente à dimensão do espaço coluna gerado por eles.
Os vetores dados (peguei-os do enunciado) são:
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}3\\\ 3\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}2\\\ -6\\\ 5\\\ -4\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}0\\\ -9\\\ 0\\\ -3\end{pmatrix}.
A pergunta explícita é: qual é \dim\!\big(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\})?

Passo 2

Estratégia e conceitos importantes (curtinha e prática):
  • A dimensão do span é o número máximo de vetores linearmente independentes dentre os dados.
  • Se colocarmos os vetores como colunas de uma matriz A, então a dimensão do span é o posto (rank) de A, isto é, o número de pivôs na forma escalonada por linhas.
  • Para encontrar o posto, aplicamos eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) até obter a forma escalonada; cada linha não-nula corresponde a um pivô.
Vou então montar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4 e reduzir por linhas.

Passo 3

Matriz com os vetores como colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -6 & -9\\[4pt] 1 & 0 & 5 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -4 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Eliminação de Gauss passo a passo (explicando cada operação):
  1. Eliminar entrada na coluna 1 da linha 3 usando R_3 \leftarrow R_3 - R_1:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -6 & -9\\[4pt] 0 & -3 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -4 & -3 \end{pmatrix}.
  1. Usar a linha 2 (pivot na coluna 2) para zerar as outras entradas dessa coluna:
  • R_3 \leftarrow R_3 + R_2 (para zerar -3 em R_3),
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_2 (para zerar 3 em R_4).
    Isso dá
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -6 & -9\\[4pt] 0 & 0 & -3 & -9\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 6 \end{pmatrix}.
  1. Tornar o pivot da linha 3 igual a 1: dividir R_3 por -3:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -6 & -9\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 6 \end{pmatrix}.
  1. Eliminar a entrada da coluna 3 em R_4: R_4 \leftarrow R_4 - 2R_3, obtendo uma linha zero:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -6 & -9\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Eliminar as entradas acima do pivot da coluna 3:
  • R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3,
  • R_2 \leftarrow R_2 + 6R_3.
    Fica
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & -6\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 9\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Normalizar o pivot da coluna 2 dividindo R_2 por 3: R_2 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_2, e eliminar a entrada acima dele em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2. O resultado é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -15\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
que já está em forma escalonada reduzida (pivôs nas colunas 1, 2 e 3).]

Passo 5

Conclusão a partir da eliminação:
  • Aparecem exatamente 3 linhas não-nulas (ou seja, 3 pivôs).
  • Logo o posto da matriz A é 3.
  • Portanto os três primeiros vetores coluna (não necessariamente exatamente os três primeiros originais, mas de fato existem 3 vetores linearmente independentes no conjunto) geram um subespaço de dimensão 3.
Em palavras amigáveis: entre os quatro vetores, há uma dependência linear que reduz a quantidade de vetores independentes para 3; assim a dimensão do span é 3.

Resposta

(D) 3

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