Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
-4
4.7
-2
1
-9.8
-1
1
-2.5
0
-5
30.4
1
-1
8.3
2
4
-25.2
3
-1
-10.3
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(6,8). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -121.1
(B) -120.1
(C) -119.1
(D) -118.1
(E) -117.1
(F) -116.1
(G) -115.1
(H) -114.1
Passo 1
O enunciado pede que encontremos os parâmetros a,\;b,\;c que melhor ajustam, em mínimos quadrados, o modelo
Z = a x^{2} + b y + c
aos 7 pares de medições (x,y,Z) fornecidos na tabela abaixo (estou pegando os dados diretamente da tabela do enunciado):
Ajustar a,\;b,\;c pelo critério dos mínimos quadrados usando os dados acima.
Calcular o valor previsto de Z pelo modelo ajustado para (x,y)=(6,8).
Escolher a melhor aproximação entre as alternativas dadas.
Dados relevantes listados (retomando os pares): (x,y,Z)=(-3,-4,4{,}7),(-2,1,-9{,}8),(-1,1,-2{,}5),(0,-5,30{,}4),(1,-1,8{,}3),(2,4,-25{,}2),(3,-1,-10{,}3).
Passo 2
Método (explicação didática do que vou fazer): como o modelo é linear em a,b,c (mesmo que contenha x^2), podemos escrever o ajuste em forma matricial e usar as equações normais dos mínimos quadrados. Escrevo em notação matricial:
X^{T}X é a matriz de correlações entre as colunas do desenho (aqui: x^2, y e 1).
X^{T}\mathbf{z} são os produtos cruzados entre colunas do desenho e os valores observados Z.
Vou construir X, calcular X^{T}X e X^{T}\mathbf{z}, resolver o sistema linear (X^{T}X)\hat{\boldsymbol{\beta}}=X^{T}\mathbf{z} e então calcular Z(6,8)=a\cdot 6^{2}+b\cdot 8 + c.]
Passo 3
Construção explícita da matriz X usando os dados da tabela: cada linha é (x_i^2,\;y_i,\;1). Calculo x_i^2 e listo:
Cálculo de X^{T}X. Primeiro reúno somas necessárias (estas somas são obtidas somando as colunas de X e produtos coluna a coluna; estou usando os valores da tabela):
\begin{aligned} \sum x^{2} &= 9+4+1+0+1+4+9 = 28,\\\ \sum y &= -4+1+1-5-1+4-1 = -5,\\\ n &= 7. \end{aligned}
Cálculo de X^{T}\mathbf{z}. Vou calcular as componentes \sum x^{2}Z, \sum yZ, \sum Z. Usei os Z da tabela e os x^{2},y que escrevi no Passo 3; abaixo mostro os produtos linha a linha e depois a soma (estou explicitando que peguei os valores da tabela):
Contribuições linha a linha (peguei os x^2,y,Z da tabela):
Comparando com as alternativas fornecidas (valores terminando em .1 de -121{,}1 até -114{,}1 em passos de 1), o valor calculado -119{,}07 está mais próximo de -119{,}1, que é a alternativa (C).