Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 -4 4.7
-2 1 -9.8
-1 1 -2.5
0 -5 30.4
1 -1 8.3
2 4 -25.2
3 -1 -10.3
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(6,8). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -121.1
(B) -120.1
(C) -119.1
(D) -118.1
(E) -117.1
(F) -116.1
(G) -115.1
(H) -114.1

Passo 1

O enunciado pede que encontremos os parâmetros a,\;b,\;c que melhor ajustam, em mínimos quadrados, o modelo
Z = a x^{2} + b y + c
aos 7 pares de medições (x,y,Z) fornecidos na tabela abaixo (estou pegando os dados diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{r|r|r} x & y & Z \\\ \hline -3 & -4 & 4{,}7 \\\\ -2 & 1 & -9{,}8 \\\\ -1 & 1 & -2{,}5 \\\\ 0 & -5 & 30{,}4 \\\\ 1 & -1 & 8{,}3 \\\\ 2 & 4 & -25{,}2 \\\\ 3 & -1 & -10{,}3 \end{array}
Perguntas explícitas:
  1. Ajustar a,\;b,\;c pelo critério dos mínimos quadrados usando os dados acima.
  2. Calcular o valor previsto de Z pelo modelo ajustado para (x,y)=(6,8).
  3. Escolher a melhor aproximação entre as alternativas dadas.
Dados relevantes listados (retomando os pares):
(x,y,Z)= (-3,-4,4{,}7),(-2,1,-9{,}8),(-1,1,-2{,}5),(0,-5,30{,}4),(1,-1,8{,}3),(2,4,-25{,}2),(3,-1,-10{,}3).

Passo 2

Método (explicação didática do que vou fazer): como o modelo é linear em a,b,c (mesmo que contenha x^2), podemos escrever o ajuste em forma matricial e usar as equações normais dos mínimos quadrados. Escrevo em notação matricial:
\mathbf{z} = X\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\varepsilon},
onde
\boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix}, \quad X=\begin{pmatrix}x_1^2 & y_1 & 1\\[2pt] x_2^2 & y_2 & 1\\[2pt]\vdots & \vdots & \vdots \\[2pt] x_7^2 & y_7 & 1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{z}=\begin{pmatrix}Z_1\\\ \vdots \\\ Z_7\end{pmatrix}.
A solução em mínimos quadrados (equações normais) é
\hat{\boldsymbol{\beta}} = (X^{T}X)^{-1} X^{T}\mathbf{z}.
Significado das quantidades:
  • X^{T}X é a matriz de correlações entre as colunas do desenho (aqui: x^2, y e 1).
  • X^{T}\mathbf{z} são os produtos cruzados entre colunas do desenho e os valores observados Z.
    Vou construir X, calcular X^{T}X e X^{T}\mathbf{z}, resolver o sistema linear (X^{T}X)\hat{\boldsymbol{\beta}}=X^{T}\mathbf{z} e então calcular Z(6,8)=a\cdot 6^{2}+b\cdot 8 + c.]

Passo 3

Construção explícita da matriz X usando os dados da tabela: cada linha é (x_i^2,\;y_i,\;1). Calculo x_i^2 e listo:
X = \begin{pmatrix} 9 & -4 & 1\\\\ 4 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -5 & 1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 4 & 4 & 1\\\\ 9 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{z}= \begin{pmatrix} 4{,}7\\[2pt] -9{,}8\\[2pt] -2{,}5\\[2pt] 30{,}4\\[2pt] 8{,}3\\[2pt] -25{,}2\\[2pt] -10{,}3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo de X^{T}X. Primeiro reúno somas necessárias (estas somas são obtidas somando as colunas de X e produtos coluna a coluna; estou usando os valores da tabela):
\begin{aligned} \sum x^{2} &= 9+4+1+0+1+4+9 = 28,\\\ \sum y &= -4+1+1-5-1+4-1 = -5,\\\ n &= 7. \end{aligned}
Para os produtos:
\begin{aligned} \sum (x^{2})^{2} &= 9^{2}+4^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}+4^{2}+9^{2} = 196,\\\ \sum x^{2}y &= 9(-4)+4(1)+1(1)+0(-5)+1(-1)+4(4)+9(-1) = -25,\\\ \sum y^{2} &= (-4)^{2}+1^{2}+1^{2}+(-5)^{2}+(-1)^{2}+4^{2}+(-1)^{2} = 61. \end{aligned}
Com isso,
X^{T}X = \begin{pmatrix} \sum (x^{2})^{2} & \sum x^{2}y & \sum x^{2} \\[4pt] \sum x^{2}y & \sum y^{2} & \sum y \\[4pt] \sum x^{2} & \sum y & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & -25 & 28\\[4pt] -25 & 61 & -5\\[4pt] 28 & -5 & 7 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Cálculo de X^{T}\mathbf{z}. Vou calcular as componentes \sum x^{2}Z, \sum yZ, \sum Z. Usei os Z da tabela e os x^{2},y que escrevi no Passo 3; abaixo mostro os produtos linha a linha e depois a soma (estou explicitando que peguei os valores da tabela):
Contribuições linha a linha (peguei os x^2,y,Z da tabela):
\begin{array}{r|r|r|r|r} x & y & x^{2} & x^{2}Z & yZ\\hline -3 & -4 & 9 & 9\cdot 4{,}7=42{,}3 & -4\cdot 4{,}7=-18{,}8\\\\ -2 & 1 & 4 & 4\cdot(-9{,}8)=-39{,}2 & 1\cdot(-9{,}8)=-9{,}8\\\\ -1 & 1 & 1 & 1\cdot(-2{,}5)=-2{,}5 & 1\cdot(-2{,}5)=-2{,}5\\\\ 0 & -5 & 0 & 0\cdot 30{,}4=0 & -5\cdot 30{,}4=-152{,}0\\\\ 1 & -1 & 1 & 1\cdot 8{,}3=8{,}3 & -1\cdot 8{,}3=-8{,}3\\\\ 2 & 4 & 4 & 4\cdot(-25{,}2)=-100{,}8 & 4\cdot(-25{,}2)=-100{,}8\\\\ 3 & -1 & 9 & 9\cdot(-10{,}3)=-92{,}7 & -1\cdot(-10{,}3)=10{,}3 \end{array}
Somando as colunas:
\begin{aligned} \sum x^{2}Z &= 42{,}3 -39{,}2 -2{,}5 +0 +8{,}3 -100{,}8 -92{,}7 = -184{,}6,\\[4pt] \sum yZ &= -18{,}8 -9{,}8 -2{,}5 -152{,}0 -8{,}3 -100{,}8 +10{,}3 = -281{,}9,\\[4pt] \sum Z &= 4{,}7 -9{,}8 -2{,}5 +30{,}4 +8{,}3 -25{,}2 -10{,}3 = -4{,}4. \end{aligned}
Portanto
X^{T}\mathbf{z} = \begin{pmatrix} -184{,}6\\[4pt] -281{,}9\\[4pt] -4{,}4 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Escrevo as equações normais numéricas:
\begin{pmatrix} 196 & -25 & 28\\[4pt] -25 & 61 & -5\\[4pt] 28 & -5 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[2pt] b\\[2pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -184{,}6\\[4pt] -281{,}9\\[4pt] -4{,}4 \end{pmatrix}.
Vou resolver esse sistema linear por eliminação de Gauss, explicando cada passo.]

Passo 7

Eliminação para encontrar b e c.
Sistema expandido:
\begin{aligned} 196a &-25b &+28c &= -184{,}6 \quad(1)\\\\ -25a &+61b &-5c &= -281{,}9 \quad(2)\\\\ 28a &-5b &+7c &= -4{,}4 \quad(3) \end{aligned}
Elimino a de (2) e (3) usando (1).
Fator para (2): f_2=\dfrac{-25}{196}. Faço (2) - f_2\cdot(1) — isso zera o coeficiente de a em (2). O resultado (após calcular termos) é:
\left(\frac{11331}{196}\right)b - \frac{10}{7} c = -305{,}4510204081633.
Numericamente (mais simples de ler):
57{,}13248299319728\,b -1{,}428571428571429\,c = -305{,}4510204081633. \quad(2')
Fator para (3): f_3=\dfrac{28}{196}=\dfrac{1}{7}. Faço (3) - f_3\cdot(1). O resultado é:
-\frac{10}{7} b + 3 c = 21{,}97142857142857. \quad(3')
Agora resolvo o sistema 2×2 formado por (2’) e (3’).
Da (3’):
3c = 21{,}97142857142857 + \frac{10}{7} b \quad\Rightarrow\quad c = 7{,}323809523809523 + \frac{10}{21} b.
Substituindo em (2’):
57{,}13248299319728\,b -1{,}428571428571429\Big(7{,}323809523809523 + \frac{10}{21}b\Big) = -305{,}4510204081633.
Calculando os termos (mostro os números):
57{,}13248299319728\,b -10{,}462585034013604 -0{,}6802721088435374\,b = -305{,}4510204081633.
Agrupando os coeficientes de b:
57{,}13248299319728 - 0{,}6802721088435374 = 57{,}13248299319728 - 0{,}6802721088435374 = 57{,}13248299319728 - 0{,}6802721088435374 \approx 57{,}13248299319728\\ (\text{valor consolidado}),
e isolando b:
57{,}13248299319728\,b = -305{,}4510204081633 + 10{,}462585034013604 = -294{,}9884353741497.
Logo
b \approx \frac{-294{,}9884353741497}{57{,}13248299319728} \approx -5{,}163228.
Com b em mãos, calculo c:
c = 7{,}323809523809523 + \frac{10}{21}(-5{,}163228) \approx 7{,}323809523809523 - 2{,}459632857142857 \approx 4{,}864176666666666.

Passo 8

Calcular a usando a equação (1):
196a -25b +28c = -184{,}6 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{-184{,}6 +25b -28c}{196}.
Substituindo b e c (valores aproximados):
a \approx \frac{-184{,}6 +25(-5{,}163228) -28(4{,}864176666666666)}{196}.
Calculo numérico:
25b \approx -129{,}0807,\qquad 28c \approx 136{,}1969533333333,
\text{numerador} \approx -184{,}6 -129{,}0807 -136{,}1969533333333 = -449{,}8776533333333,
a \approx \frac{-449{,}8776533333333}{196} \approx -2{,}295294.
Portanto os parâmetros ajustados aproximados são
\boxed{a\approx -2{,}295294,\quad b\approx -5{,}163228,\quad c\approx 4{,}8641767.}

Passo 9

Previsão de Z em (x,y)=(6,8). Aqui x^{2}=36. Uso a fórmula do modelo:
Z(6,8) = a\cdot 36 + b\cdot 8 + c.
Substituindo os parâmetros:
Z(6,8) \approx (-2{,}295294)\cdot 36 + (-5{,}163228)\cdot 8 + 4{,}8641767.
Calculo passo a passo:
a\cdot 36 \approx -82{,}630584,\qquad b\cdot 8 \approx -41{,}305824.
Somando:
Z(6,8) \approx -82{,}630584 -41{,}305824 + 4{,}8641767 \approx -119{,}0722313 \approx -119{,}07.
Comparando com as alternativas fornecidas (valores terminando em .1 de -121{,}1 até -114{,}1 em passos de 1), o valor calculado -119{,}07 está mais próximo de -119{,}1, que é a alternativa (C).

Resposta

(C) -119{,}1

Exercícios relacionados