Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se S é LI, então A pode ser LD.
II - Se S é base, então A é LI.
III - Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} são coplanares, então S pode ser LI.
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas III é verdadeira.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas II e III são verdadeiras.
A dimensão de S é:
(A) 9
(B) 6
(C) 4
(D) 8
(E) 10
(F) 7
(G) 2
(H) 3

Passo 1

O enunciado dá um conjunto S=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}\subset\mathbb R^3 e define os subconjuntos
A=\{\vec v_1,\vec v_2\},\quad B=\{\vec v_1,\vec v_3\},\quad C=\{\vec v_2,\vec v_3\}.
Pede-se decidir a verdade das afirmações I–III relacionadas à independência linear (LI), dependência linear (LD) e base, e depois determinar a dimensão de S. O conteúdo é Álgebra Linear: LI, LD, base e dimensão de um espaço vetorial ou de um conjunto gerador.

Passo 2

Análise de I: “Se S é LI, então A pode ser LD.”
Uma propriedade fundamental é que toda parte de um conjunto LI também é LI. Logo, se S é LI, então obrigatoriamente A é LI e não pode ser LD.
Portanto I é falsa.

Passo 3

Análise de II: “Se S é base, então A é LI.”
Por definição, base de \mathbb R^3 significa que S é LI e gera \mathbb R^3. Como S é LI, todo subconjunto (em particular A) também é LI.
Portanto II é verdadeira.

Passo 4

Análise de III: “Se \vec v_1,\vec v_2,\vec v_3 são coplanares, então S pode ser LI.”
Três vetores coplanares de \mathbb R^3 estão contidos num plano; mas três vetores num mesmo plano em \mathbb R^3 são sempre LD. Logo, S não pode ser LI se eles são coplanares.
Portanto III é falsa.

Passo 5

Das avaliações: I falsa, II verdadeira, III falsa. Logo, apenas II é verdadeira, que corresponde à alternativa (E).

Passo 6

A dimensão de S (ou seja, a dimensão do subespaço gerado por S, que atinge no máximo 3 em \mathbb R^3) coincide com o número máximo de vetores LI em S. Como S pode ser ou não LI, mas em geral tratamos dimensão de um conjunto de 3 vetores em \mathbb R^3 como até 3, e a única opção consistente é 3, correspondente à alternativa (H).

Resposta

(E) Apenas II é verdadeira.
(H) 3

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