Exercício 3. Mostre que o conjunto de vetores A \doteq\left\{q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4}\right\} do espaço vetorial real ( \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}),+, \cdot ) é L.D. e que qualquer subconjunto do conjuto A, com três elementos é L.I. no espaço vetorial real ( \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}),+, \cdot ), onde
q_{1}(x) \doteq 1, \quad q_{2}(x) \doteq x, \quad q_{3}(x) \doteq x^{2}, \quad q_{4}(x) \doteq 2+x+2 x^{2}, \text { para } x \in \mathbb{R} .

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto \displaystyle A=\{q_{1},q_{2},q_{3},q_{4}\}
no espaço vetorial \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}), onde
q_{1}(x)=1,\quad q_{2}(x)=x,\quad q_{3}(x)=x^{2},\quad q_{4}(x)=2+x+2x^{2}.
Precisamos mostrar que A é linearmente dependente e que qualquer subconjunto de três elementos de A é linearmente independente. Para isso usaremos as definições de combinação linear nula (dependência) e comparação de coeficientes (independência).

Passo 2

Para provar que A é L.D. basta encontrar escalares não todos nulos tais que
a_{1}\,q_{1}(x)+a_{2}\,q_{2}(x)+a_{3}\,q_{3}(x)+a_{4}\,q_{4}(x)\equiv0.
Observamos que
2q_{1}(x)+1\,q_{2}(x)+2q_{3}(x)-1\,q_{4}(x) =2\cdot1 + x + 2x^{2} - \bigl(2 + x + 2x^{2}\bigr) \equiv 0.
Logo podemos escolher
a_{1}=2,\quad a_{2}=1,\quad a_{3}=2,\quad a_{4}=-1,
obtendo combinação não trivial que gera o polinômio zero. Portanto A é linearmente dependente.

Passo 3

O subconjunto \{q_{1},q_{2},q_{3}\}=\{1,x,x^{2}\} já é conhecido como base de \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}), logo é L.I. Mas, para ver pelo método de comparação de coeficientes, suponha
c_{1}\,q_{1}(x)+c_{2}\,q_{2}(x)+c_{3}\,q_{3}(x) = c_{1} + c_{2}x + c_{3}x^{2} \equiv 0.
Comparando coeficientes de 1,x,x^{2} vem
c_{1}=0,\quad c_{2}=0,\quad c_{3}=0,
mostrando que só há a combinação trivial. Portanto \{q_{1},q_{2},q_{3}\} é L.I.

Passo 4

Considere agora qualquer subconjunto B\subset A\) com três elementos que inclua \(q_{4}\). Sem perda de generalidade, tome \[B=\{q_{i},q_{j},q_{4}\}, \qquad i,j\in\{1,2,3\},\;i<j.
Suponha
d_{i}\,q_{i}(x)+d_{j}\,q_{j}(x)+d_{4}\,q_{4}(x)\equiv0.
Por exemplo, para B=\{q_{1},q_{2},q_{4}\} isso dá
d_{1}+d_{2}x + d_{4}(2+x+2x^{2}) \equiv 0
e comparando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} d_{1}+2d_{4}=0,\\\ d_{2}+d_{4}=0,\\\\ 2d_{4}=0. \end{cases}
Da terceira equação vem d_{4}=0\] e, então, \(d_{1}=0, d_{2}=0. O mesmo raciocínio vale para quaisquer i,j. Assim todo subconjunto de três elementos de A é linearmente independente.

Resposta

O conjunto A é linearmente dependente e qualquer subconjunto de três elementos de A é linearmente independente.

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