Exercício 3. Mostre que o conjunto de vetores A \doteq\left\{q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4}\right\} do espaço vetorial real ( \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}),+, \cdot ) é L.D. e que qualquer subconjunto do conjuto A, com três elementos é L.I. no espaço vetorial real ( \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}),+, \cdot ), onde
Precisamos mostrar que A é linearmente dependente e que qualquer subconjunto de três elementos de A é linearmente independente. Para isso usaremos as definições de combinação linear nula (dependência) e comparação de coeficientes (independência).
Passo 2
Para provar que A é L.D. basta encontrar escalares não todos nulos tais que
obtendo combinação não trivial que gera o polinômio zero. Portanto A é linearmente dependente.
Passo 3
O subconjunto \{q_{1},q_{2},q_{3}\}=\{1,x,x^{2}\} já é conhecido como base de \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}), logo é L.I. Mas, para ver pelo método de comparação de coeficientes, suponha
mostrando que só há a combinação trivial. Portanto \{q_{1},q_{2},q_{3}\} é L.I.
Passo 4
Considere agora qualquer subconjunto B\subset A\) com três elementos que inclua \(q_{4}\). Sem perda de generalidade, tome
\[B=\{q_{i},q_{j},q_{4}\}, \qquad i,j\in\{1,2,3\},\;i<j.
Da terceira equação vem d_{4}=0\] e, então, \(d_{1}=0, d_{2}=0. O mesmo raciocínio vale para quaisquer i,j. Assim todo subconjunto de três elementos de A é linearmente independente.
Resposta
O conjunto A é linearmente dependente e qualquer subconjunto de três elementos de A é linearmente independente.