Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} não são colineares, então S é LI.
II - Se S é gerador do \mathbb{R}^{3}, então A é LI.
III - Se A é LD, então S pode ser LI.
A dimensão de S é:

Passo 1

O enunciado define três vetores distintos \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\in\mathbb{R}^3 e os subconjuntos
A=\{\vec v_{1},\vec v_{2}\},\quad B=\{\vec v_{1},\vec v_{3}\},\quad C=\{\vec v_{2},\vec v_{3}\}.
Ele apresenta as afirmações:
I – Se \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3} não são colineares, então S é LI.
II – Se S gera \mathbb{R}^3, então A é LI.
III – Se A é LD, então S pode ser LI.
Queremos verificar quais dessas proposições são sempre verdadeiras.

Passo 2

Análise da I: “Se \vec v_1,\vec v_2,\vec v_3 não são colineares, então S é LI.”
– “Não são colineares” significa que eles não estão todos na mesma reta, mas podem muito bem estar no mesmo plano.
– Três vetores coplanares em \mathbb{R}^3 formam um conjunto LD (há combinação não trivial que anula).
Portanto a I é falsa.

Passo 3

Análise da II: “Se S gera \mathbb{R}^3, então A é LI.”
– Se \mathrm{span}\,S=\mathbb{R}^3, então \dim\mathrm{span}\,S=3.
– Num conjunto de 3 vetores em \mathbb{R}^3 que gera todo o espaço, eles são LI.
– Se algum par, digamos \{\vec v_1,\vec v_2\}, fosse LD, estariam na mesma reta e a adição de \vec v_3 só alcançaria dimensão \le2, não gerando \mathbb{R}^3.
Logo a II é verdadeira.

Passo 4

Análise da III: “Se A é LD, então S pode ser LI.”
A LD significa \vec v_1,\vec v_2 colineares.
– Se \vec v_1 e \vec v_2 são proporcionais, qualquer combinação destes fica numa reta; adicionar \vec v_3 pode elevar a dimensão para 2 (se não for também colinear), mas não para 3.
– Logo S não pode ter os 3 vetores LI.
Portanto a III é falsa.

Passo 5

Das três afirmações, apenas a II é sempre verdadeira.

Resposta

Somente a afirmativa II é verdadeira.

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