Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
não são colineares, então
é LI.
II - Se
é gerador do
, então
é LI.
III - Se
é LD, então
pode ser LI.
A dimensão de
é:
I - Se
II - Se
III - Se
Passo 1
O enunciado define três vetores distintos
e os subconjuntos
Ele apresenta as afirmações:
I – Se não são colineares, então
é LI.
II – Se gera
, então
é LI.
III – Se é LD, então
pode ser LI.
Queremos verificar quais dessas proposições são sempre verdadeiras.
I – Se
II – Se
III – Se
Queremos verificar quais dessas proposições são sempre verdadeiras.
Passo 2
Análise da I: “Se
não são colineares, então
é LI.”
– “Não são colineares” significa que eles não estão todos na mesma reta, mas podem muito bem estar no mesmo plano.
– Três vetores coplanares em formam um conjunto LD (há combinação não trivial que anula).
Portanto a I é falsa.
– “Não são colineares” significa que eles não estão todos na mesma reta, mas podem muito bem estar no mesmo plano.
– Três vetores coplanares em
Portanto a I é falsa.
Passo 3
Análise da II: “Se
gera
, então
é LI.”
– Se , então
.
– Num conjunto de 3 vetores em que gera todo o espaço, eles são LI.
– Se algum par, digamos , fosse LD, estariam na mesma reta e a adição de
só alcançaria dimensão
, não gerando
.
Logo a II é verdadeira.
– Se
– Num conjunto de 3 vetores em
– Se algum par, digamos
Logo a II é verdadeira.
Passo 4
Análise da III: “Se
é LD, então
pode ser LI.”
– LD significa
colineares.
– Se e
são proporcionais, qualquer combinação destes fica numa reta; adicionar
pode elevar a dimensão para 2 (se não for também colinear), mas não para 3.
– Logo não pode ter os 3 vetores LI.
Portanto a III é falsa.
–
– Se
– Logo
Portanto a III é falsa.
Passo 5
Das três afirmações, apenas a II é sempre verdadeira.
Resposta
Somente a afirmativa II é verdadeira.