Q15: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(4 x-8 y-6 z, \frac{y}{4}+5 z, z\right),
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} um paralelepípedo com volume 7 . O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) é menor do que o volume de Q.
(B) é igual ao volume de Q.
(C) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(D) é maior do que o volume de Q.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear
T(x,y,z)=\bigl(4x-8y-6z,\;\tfrac{y}{4}+5z,\;z\bigr)
de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3 e diz que Q é um paralelepípedo de volume \;7.
O que precisamos usar é o fato de que uma transformação linear dada por uma matriz A escala volumes por |\det A|.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica. Como
T(x,y,z) =\begin{pmatrix} 4x-8y-6z\\[6pt] 0\cdot x+\tfrac{1}{4}y+5z\\[3pt] 0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z \end{pmatrix},
a matriz associada é
A = \begin{pmatrix} 4 & -8 & -6\\\\ 0 & \tfrac{1}{4} & 5\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Observe que A é triangular superior, logo
\det A = 4 \times \tfrac14 \times 1 = 1.

Passo 4

Como o fator de escala de volumes é \lvert\det A\rvert = 1, o volume de T(Q) vale
\Vol\bigl(T(Q)\bigr) = \lvert\det A\rvert \,\Vol(Q) = 1 \times 7 = 7.

Resposta

(B) é igual ao volume de Q.

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