Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - Toda rotação em \mathbb{R}^{3} em torno do eixo x é diagonalizável. II - Se R: \mathbb{R}^{57} \rightarrow \mathbb{R}^{57} possui 57 autovalores reais distintos, então R é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
(F.) Não sei
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmações sobre a diagonalizabilidade de operadores lineares em espaços reais:
I – “Toda rotação em \mathbb{R}^3 em torno do eixo x é diagonalizável.”
II – “Se R:\mathbb{R}^{57}\to\mathbb{R}^{57} possui 57 autovalores reais distintos, então R é diagonalizável.”
O conteúdo chave é a caracterização de operadores diagonalizáveis em espaços reais: saber que possuir n autovalores distintos em dimensão n garante diagonalização, e entender o caso de rotações em \mathbb{R}^3.
Passo 2
Analisando I: uma rotação em torno do eixo x tem matriz, na base canônica, da forma
O bloco 2\times2 atua no plano yz e, para \theta\not\equiv0,\pi\pmod{2\pi}, não admite autovalores reais. Logo não há três autovetores reais linearmente independentes e o operador não é diagonalizável em \mathbb{R}^3. Como a afirmação diz “toda rotação”, ela falha para ângulos genéricos. Portanto I é falsa.
Passo 3
Analisando II: há um teorema clássico de álgebra linear que diz que se um operador linear em um espaço de dimensão n tem n autovalores distintos, então ele é diagonalizável (pois cada autovalor gera um autovetor e esses são linearmente independentes). Aqui n=57 e temos 57 autovalores reais distintos, logo R é diagonalizável. Portanto II é verdadeira.
Passo 4
Concluímos que apenas a afirmação II é verdadeira.