Q16: Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática assuciada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A)
para todo
e existe
com
.
(B) existem
e
tais que
.
(C)
para todo
.
(D)
para todo
.
(E)
para todo
e existe
com
.
(F) Não sei
(A)
(B) existem
(C)
(D)
(E)
(F) Não sei
Passo 1
O enunciado dá uma matriz simétrica de tamanho
e define a forma quadrática
sendo o espectro de
os valores próprios
. Precisamos classificar o sinal de
em função dos sinais desses autovalores.
Passo 2
Pelo teorema espectral, existe base ortonormal em que
onde cada
é um valor próprio de
. Na nova coordenada
, a forma quadrática fica
Passo 3
Como todos os autovalores são negativos (
), cada termo
é não positivo e só é zero se
. Para
algum
, então
Isso mostra que
é negativamente definida.
Resposta
(C)
para todo
.