Q15: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(4 x-3 y-7 z, \frac{y}{9}+6 z, z\right)
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} um paralelepípedo com volume 2 . O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) é menor do que o volume de Q.
(B) é maior do que o volume de Q.
(C) é igual ao volume de Q.
(D) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z)=\bigl(4x-3y-7z,\;\tfrac{y}{9}+6z,\;z\bigr),
e diz que Q\subset\mathbb{R}^3 é um paralelepípedo de volume 2. Queremos o volume de T(Q). O conteúdo envolvido é: representação matricial de T, cálculo do determinante e uso do fato de que transformações lineares escalam volumes pelo valor absoluto do determinante.

Passo 2

Vamos achar a matriz A de T na base canônica. Observando as componentes de T(x,y,z), temos
A = \begin{pmatrix} 4 & -3 & -7\\\\ 0 & \tfrac{1}{9} & 6\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Como A é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
\det(A) =4 \times \tfrac{1}{9}\times 1 =\tfrac{4}{9}.

Passo 4

Pelo teorema de mudança de volume em transformações lineares, vale
\mathrm{vol}\bigl(T(Q)\bigr) =\bigl|\det(A)\bigr|\;\mathrm{vol}(Q) =\tfrac{4}{9}\times 2 =\tfrac{8}{9}.

Passo 5

Como \tfrac{8}{9}<2, o volume de T(Q) é menor que o volume de Q.

Resposta

(A) é menor do que o volume de Q.

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