Q16: Seja A uma matriz simétrica 5 \times 5 e f(\vec{v})=\vec{v}^{T} A \vec{v} a forma quadrática associada. Se o espectro de A é \{0,3,5\}, podemos afirmar que:
(A) existem \vec{v} e \vec{w} tais que f(\vec{v})<0<f(\vec{w}).
(B) f(\vec{v})<0 para todo \vec{v} \neq \overrightarrow{0}.
(C) f(\vec{v}) \leq 0 para todo \vec{v} e existe \vec{w} \neq \overrightarrow{0} \operatorname{com} f(\vec{w})=0.
(D) f(\vec{v}) \geq 0 para todo \vec{v} e existe \vec{w} \neq \overrightarrow{0} \operatorname{com} f(\vec{w})=0.
(E) f(\vec{v})>0 para todo \vec{v} \neq \overrightarrow{0}.
(F) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma matriz real simétrica A de ordem 5 e define a forma quadrática associada
f(\vec v)=\vec v^{T}A\vec v.
O espectro de A é \{0,3,5\}, isto é, todos os autovalores de A são 0, 3 ou 5. O conteúdo aqui é a relação entre sinais dos autovalores de uma matriz simétrica e o sinal da forma quadrática associada.

Passo 2

Por teorema espectral, existe uma base ortonormal de autovetores \{\vec e_i\} em que
A = Q\,\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_5)\,Q^{T},
com cada \lambda_i\in\{0,3,5\}. Escrevendo \vec v=Q\vec \alpha, tem-se
f(\vec v)=\vec v^{T}A\vec v=\vec \alpha^{T}\,\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_5)\,\vec \alpha =\sum_{i=1}^{5}\lambda_i\,\alpha_i^2.

Passo 3

Como todos os \lambda_i são não negativos ( \lambda_i\ge0), concluímos que para qualquer \vec v
f(\vec v)=\sum_{i=1}^{5}\lambda_i\,\alpha_i^2\ge0.
Isto mostra que f é semidefinida positiva.

Passo 4

Além disso, como existe ao menos um autovalor \lambda_j=0, basta escolher \vec w como o autovetor correspondente para obter \vec w\neq\vec 0 e
f(\vec w)=0\cdot(\text{coeficiente})^2=0.

Resposta

(D) f(\vec v)\ge0 para todo \vec v e existe \vec w\neq\overrightarrow{0} com f(\vec w)=0.

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