Q16: Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática associada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A) existem
e
tais que
.
(B)
para todo
.
(C)
para todo
e existe
.
(D)
para todo
e existe
.
(E)
para todo
.
(F) Não sei
(A) existem
(B)
(C)
(D)
(E)
(F) Não sei
Passo 1
O enunciado dá uma matriz real simétrica
de ordem
e define a forma quadrática associada
O espectro de
é
, isto é, todos os autovalores de
são
,
ou
. O conteúdo aqui é a relação entre sinais dos autovalores de uma matriz simétrica e o sinal da forma quadrática associada.
Passo 2
Por teorema espectral, existe uma base ortonormal de autovetores
em que
com cada
. Escrevendo
, tem-se
Passo 3
Como todos os
são não negativos (
), concluímos que para qualquer
Isto mostra que
é semidefinida positiva.
Passo 4
Além disso, como existe ao menos um autovalor
, basta escolher
como o autovetor correspondente para obter
e
Resposta
(D)
para todo
e existe
com
.