Q14: Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=\left[\begin{array}{rrrrrrrr} -5 & 0 & 0 & 5 & -6 & 2 & 7 & -5 \\\\ -4 & 3 & 1 & 2 & -5 & -4 & -4 & 7 \\\\ 2 & -64 & -13 & -2 & -7 & 6 & 1 & -5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 6 & -7 \\\\ 0 & 0 & 0 & -5 & 2 & 1 & -3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & -3 & -4 & 6 & 7 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 3 \end{array}\right]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{3}(2-\lambda)^{2}
(B) p_{c}^{A}(\lambda)=(-4-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{2}
(C) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{2}(4-\lambda)^{2}(2-\lambda)^{2}(-3-\lambda)^{2}
(D) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{2}(2-\lambda)^{2}(-3-\lambda)
(E) p_{c}^{A}(\lambda)=(-4-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{3}(3-\lambda)(5-\lambda)
(F) p_{c}^{A}(\lambda)=(-4-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}(5-\lambda)
(G) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{3}(2-\lambda)(-3-\lambda)
(H) p_{c}^{A}(\lambda)=(-4-\lambda)^{2}(-2-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}(5-\lambda)^{2}
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de uma matriz 8\times8. Note que, olhando para os zeros abaixo da “diagonal” por blocos, a matriz é triangular por blocos com três blocos diagonais: um 3\times3, outro 3\times3 e um 2\times2. Logo
p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I) =\det(A_{11}-\lambda I_{3})\;\det(A_{22}-\lambda I_{3})\;\det(A_{33}-\lambda I_{2}).

Passo 2

Identificamos os três blocos diagonais:
A_{11}=\begin{pmatrix} -5 & 0 & 0\\\\ -4 & 3 & 1\\\\ 2 & -64 & -13 \end{pmatrix},\quad A_{22}=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\\\ -5 & 2 & 1\\\\ -3 & -4 & 6 \end{pmatrix},\quad A_{33}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos \det(A_{11}-\lambda I_{3}) por expansão na primeira linha, pois há zeros:
A_{11}-\lambda I_{3} =\begin{pmatrix} -5-\lambda & 0 & 0\\\\ -4 & 3-\lambda & 1\\\\ 2 & -64 & -13-\lambda \end{pmatrix}
\det(A_{11}-\lambda I_{3}) =(-5-\lambda)\det\!\begin{pmatrix}3-\lambda&1\\\ -64&-13-\lambda\end{pmatrix} =(-5-\lambda)\bigl[(3-\lambda)(-13-\lambda)+64\bigr].
Dentro do colchete temos
(3-\lambda)(-13-\lambda)+64 =\lambda^2+10\lambda+25=(\lambda+5)^2,
logo
\det(A_{11}-\lambda I_{3}) =(-5-\lambda)\,(\lambda+5)^2 =-(\lambda+5)^3.

Passo 4

De modo análogo, em A_{22}-\lambda I_{3} também há zeros na primeira linha:
A_{22}-\lambda I_{3} =\begin{pmatrix} 4-\lambda & 0 & 0\\\\ -5 & 2-\lambda & 1\\\\ -3 & -4 & 6-\lambda \end{pmatrix}
\det(A_{22}-\lambda I_{3}) =(4-\lambda)\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda&1\\\ -4&6-\lambda\end{pmatrix} =(4-\lambda)\bigl[(2-\lambda)(6-\lambda)+4\bigr].
E
(2-\lambda)(6-\lambda)+4 =\lambda^2-8\lambda+16=(\lambda-4)^2,
portanto
\det(A_{22}-\lambda I_{3}) =(4-\lambda)\,(\lambda-4)^2 =-(\lambda-4)^3.

Passo 5

Para o bloco 2\times2:
A_{33}-\lambda I_{2} =\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1\\\\ -1 & 3-\lambda \end{pmatrix}, \quad \det(A_{33}-\lambda I_{2}) =(1-\lambda)(3-\lambda)+1 =\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2.

Passo 6

Multiplicando os três determinantes:
p_A(\lambda) =\bigl[-(\lambda+5)^3\bigr]\;\bigl[-(\lambda-4)^3\bigr]\;(\lambda-2)^2 =(\lambda+5)^3(\lambda-4)^3(\lambda-2)^2.
Reescrevendo \lambda+5= -(-5-\lambda) e \lambda-4=-(4-\lambda), chega-se a
p_A(\lambda)=(-5-\lambda)^3(4-\lambda)^3(2-\lambda)^2.

Passo 7

Essa expressão coincide com a alternativa (A).

Resposta

(A) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{3}(2-\lambda)^{2}

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