Q16 *
Assinale o valor de x tal que a área sob a função \frac{1}{1+t^{2}} no intervalo [0, x] seja igual a \frac{\pi}{4} :
(a) \frac{1}{\pi}
(b) 1
(c) \pi
(d) \infty

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor de x tal que a área sob a função \dfrac{1}{1+t^{2}} no intervalo [0,x] seja igual a \dfrac{\pi}{4}. Em fórmula isso é:
\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\frac{\pi}{4}.
As alternativas fornecidas são:
(a) \dfrac{1}{\pi}
(b) 1
(c) \pi
(d) \infty

Passo 2

Primeiro conceito útil: a área sob uma curva entre a e b é dada pelo integral definido \int_{a}^{b} f(t)\,dt. O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(t)=f(t)), então
\int_{0}^{x} f(t)\,dt = F(x)-F(0).
Aqui f(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}. Então precisamos encontrar uma função F tal que F'(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}. Vou mostrar uma primitiva muito conhecida e justificar por que ela funciona.

Passo 3

A primitiva conhecida é F(t)=\arctan t (função arco-tangente, inversa da tangente restrita). Vou justificar que F'(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}.
Prova rápida da derivada da arco-tangente: seja y=\arctan t. Isso significa que \tan y = t. Diferenciando implicitamente em relação a t,
\operatorname{sec}^{2}y\cdot\frac{dy}{dt}=1.
Logo
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}y}=\cos^{2}y.
Como \tan y=t implica \tan^{2}y=t^{2} e \operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y, tem-se
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{1+\tan^{2}y}=\frac{1}{1+t^{2}}.
Portanto \dfrac{d}{dt}\big(\arctan t\big)=\dfrac{1}{1+t^{2}}, isto é, \arctan t é uma primitiva de f(t).

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com F(t)=\arctan t,
\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\arctan x - \arctan 0.
Mas \arctan 0=0, então
\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\arctan x.
A condição do enunciado exige \arctan x=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Resolver \arctan x=\dfrac{\pi}{4}. Aplicando a tangente em ambos os lados (a tangente é a função inversa da arco-tangente no intervalo principal), obtemos
x=\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Sabendo que \tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 (ângulo de 45^\circ, seno e cosseno iguais, razão igual a 1), concluímos x=1.
Também é bom checar rapidamente as outras alternativas por consistência:
  • Se x\to\infty, \int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt\to\frac{\pi}{2}, não \frac{\pi}{4}.
  • Para x=\pi, \arctan \pi>\arctan 1=\frac{\pi}{4}, logo não serve.
  • Para x=\dfrac{1}{\pi}, \arctan\!\left(\dfrac{1}{\pi}\right)<\arctan 1, logo também não.

Passo 6

Resumo do raciocínio prático para a prova: reconhecer que \dfrac{1}{1+t^{2}} tem primitiva \arctan t, avaliar a integral como \arctan x e resolver \arctan x=\dfrac{\pi}{4} para obter x=1. Relaxa: foi só lembrar da primitiva e usar a inversa da tangente.

Resposta

1

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