Q16 *
Assinale o valor de
tal que a área sob a função
no intervalo
seja igual a
:
(a)
(b) 1
(c)
(d)
(a)
(b) 1
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o valor de
tal que a área sob a função
no intervalo
seja igual a
. Em fórmula isso é:
As alternativas fornecidas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 2
Primeiro conceito útil: a área sob uma curva entre
e
é dada pelo integral definido
. O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se
é uma primitiva de
(ou seja,
), então
Aqui
. Então precisamos encontrar uma função
tal que
. Vou mostrar uma primitiva muito conhecida e justificar por que ela funciona.
Passo 3
A primitiva conhecida é
(função arco-tangente, inversa da tangente restrita). Vou justificar que
.
Prova rápida da derivada da arco-tangente: seja
. Isso significa que
. Diferenciando implicitamente em relação a
,
Logo
Como
implica
e
, tem-se
Portanto
, isto é,
é uma primitiva de
.
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com
,
Mas
, então
A condição do enunciado exige
.
Passo 5
Resolver
. Aplicando a tangente em ambos os lados (a tangente é a função inversa da arco-tangente no intervalo principal), obtemos
Sabendo que
(ângulo de
, seno e cosseno iguais, razão igual a
), concluímos
.
Também é bom checar rapidamente as outras alternativas por consistência:
- Se
, , não . - Para
, , logo não serve. - Para
, , logo também não.
Passo 6
Resumo do raciocínio prático para a prova: reconhecer que
tem primitiva
, avaliar a integral como
e resolver
para obter
. Relaxa: foi só lembrar da primitiva e usar a inversa da tangente.
Resposta
1