Q17 *
Assinale a derivada da função x^{x}, x>0 :
(a) x^{x}(\ln x+1)
(b) x \cdot x^{x-1}
(c) x^{x-1} \ln x
(d) x^{x} \ln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função \,x^{x}\, para \,x>0. As alternativas fornecidas são:
(a) \,x^{x}(\ln x+1)
(b) \,x \cdot x^{x-1}
(c) \,x^{x-1} \ln x
(d) \,x^{x} \ln x
Informações dadas que vamos usar:
  • A função é \,x^{x} com domínio \,x>0.
  • Precisamos diferenciar uma expressão onde a variável aparece tanto na base quanto no expoente — isso pede atenção nas regras de diferenciação.

Passo 2

Por que essa função exige cuidado? Quando a variável aparece somente na base (por exemplo \,x^2) usa-se a regra de potência comum; quando aparece somente no expoente (por exemplo a^{x} com a constante) usa-se a regra da exponencial. Aqui a variável está na base e no expoente ao mesmo tempo, então o jeito mais direto e seguro é fazer diferenciação logarítmica: tomar logaritmo dos dois lados e depois derivar implicitamente. Vou explicar cada passo dessa técnica de forma clara.
No método de diferenciação logarítmica:
  • Define-se y = x^{x}.
  • Aplica-se \ln em ambos os lados para transformar a potência em produto: \ln y = x \ln x.
  • Diferencia-se ambos os lados em relação a x, lembrando que \ln y depende de y e y depende de x (aplica-se a regra da cadeia).
  • Isola-se y' e substitui-se y = x^{x} no final.

Passo 3

Aplicando o método passo a passo.
Defina
y = x^{x}.
Tome logaritmo natural dos dois lados:
\ln y = \ln\bigl(x^{x}\bigr).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln(a^{b}) = b\ln a, obtemos
\ln y = x \ln x.
Agora derive ambos os lados em relação a x.
  • No lado esquerdo, use a regra da cadeia: a derivada de \ln y em relação a x é \dfrac{y'}{y}, porque \dfrac{d}{dx}\ln y = \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}.
  • No lado direito, temos um produto x \cdot \ln x. Use a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=\ln x, então (uv)' = u'v + uv'. Aqui u'=1 e v'=\dfrac{1}{x}.
Portanto, derivando:
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\bigl(x\ln x\bigr) = 1\cdot \ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1.
Multiplique ambos os lados por y para isolar y':
y' = y\bigl(\ln x + 1\bigr).
Finalmente, substitua y = x^{x}:
y' = x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr).

Passo 4

Explicação das regras usadas (mini-aula rápida, sem pular etapas):
  • Regra da cadeia (para \ln y): se y=y(x), então \dfrac{d}{dx}\ln y = \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}. Ou seja, derivar a função externa \ln(\cdot) e multiplicar pela derivada da função interna y(x).
  • Regra do produto (para x\ln x): se tem produto de duas funções, derivada é soma das derivadas multiplicadas adequadamente: (uv)'=u'v+uv'.
  • Derivada de \ln x: \dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x} para x>0.
  • Propriedade dos logaritmos usada: \ln(a^{b}) = b\ln a.
Essas são as peças que permitiram transformar a diferença difícil em operações básicas de derivação.

Passo 5

Uma forma alternativa (equivalente) de ver a mesma derivada, que ajuda a fixar a ideia: reescreva \,x^{x} como exponencial de base e:
x^{x} = e^{x\ln x}.
Ao derivar, usa-se a regra da cadeia para exponencial:
\frac{d}{dx}e^{x\ln x} = e^{x\ln x}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x\ln x\bigr) = e^{x\ln x}\bigl(\ln x + 1\bigr).
Como e^{x\ln x}=x^{x}, chega-se ao mesmo resultado
\frac{d}{dx}x^{x} = x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr).

Passo 6

Breve verificação numérica para ganhar confiança (opcional): em x=2,
\frac{d}{dx}x^{x}\Big|_{x=2} = 2^{2}\bigl(\ln 2 + 1\bigr) = 4\bigl(\ln 2 + 1\bigr)\approx 4\cdot(0,6931+1)=4\cdot1,6931\approx 6,7724.
Isso mostra como usar a fórmula na prática.

Resposta

(a)

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