Q17 *
Assinale a derivada da função
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
para
. As alternativas fornecidas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Informações dadas que vamos usar:
- A função é
com domínio . - Precisamos diferenciar uma expressão onde a variável aparece tanto na base quanto no expoente — isso pede atenção nas regras de diferenciação.
Passo 2
Por que essa função exige cuidado? Quando a variável aparece somente na base (por exemplo
) usa-se a regra de potência comum; quando aparece somente no expoente (por exemplo
com
constante) usa-se a regra da exponencial. Aqui a variável está na base e no expoente ao mesmo tempo, então o jeito mais direto e seguro é fazer diferenciação logarítmica: tomar logaritmo dos dois lados e depois derivar implicitamente. Vou explicar cada passo dessa técnica de forma clara.
No método de diferenciação logarítmica:
- Define-se
. - Aplica-se
em ambos os lados para transformar a potência em produto: . - Diferencia-se ambos os lados em relação a
, lembrando que depende de e depende de (aplica-se a regra da cadeia). - Isola-se
e substitui-se no final.
Passo 3
Aplicando o método passo a passo.
Defina
Tome logaritmo natural dos dois lados:
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos
Agora derive ambos os lados em relação a
.
- No lado esquerdo, use a regra da cadeia: a derivada de
em relação a é , porque . - No lado direito, temos um produto
. Use a regra do produto: se e , então . Aqui e .
Portanto, derivando:
Multiplique ambos os lados por
para isolar
:
Finalmente, substitua
:
Passo 4
Explicação das regras usadas (mini-aula rápida, sem pular etapas):
- Regra da cadeia (para
): se , então . Ou seja, derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna . - Regra do produto (para
): se tem produto de duas funções, derivada é soma das derivadas multiplicadas adequadamente: . - Derivada de
: para . - Propriedade dos logaritmos usada:
.
Essas são as peças que permitiram transformar a diferença difícil em operações básicas de derivação.
Passo 5
Uma forma alternativa (equivalente) de ver a mesma derivada, que ajuda a fixar a ideia: reescreva
como exponencial de base
:
Ao derivar, usa-se a regra da cadeia para exponencial:
Como
, chega-se ao mesmo resultado
Passo 6
Breve verificação numérica para ganhar confiança (opcional): em
,
Isso mostra como usar a fórmula na prática.
Resposta
(a)