e o vetor \vec{v}=(5,21,25,22,9).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{4} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
A pergunta é: qual é a coordenada x_{4} do vetor \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} correspondente ao quarto vetor da base (isto é, à componente associada a b_{4})?]
Passo 2
Quando a base \beta é ortogonal, a componente x_j de \vec{v} na direção do vetor base b_j é dada pela projeção de \vec{v} sobre b_j. Mais precisamente, usando o produto interno usual (produto escalar), temos a fórmula
Aqui \langle \vec{a},\vec{b}\rangle significa o produto escalar (ou dot product) entre \vec{a} e \vec{b}, que em coordenadas é a soma dos produtos das componentes correspondentes. A razão dessa fórmula vem de escrever \vec{v}=\sum_i x_i b_i, fazer produto escalar com b_j e usar que \langle b_i,b_j\rangle=0 para i\neq j (ortogonalidade), ficando \langle \vec{v},b_j\rangle = x_j\langle b_j,b_j\rangle. Então basta isolar x_j.
Passo 3
Calcular o numerador \langle \vec{v},\,b_4\rangle. Multiplico componente a componente e somo: