Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ 4 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 1 \\\\ 9 \\\\ -4 \\\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 8 \\\\ 7 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\ 8 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ -1 \\\\ -1 \\\\ -4 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ 3 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(5,21,25,22,9).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{4} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma base ortogonal de \mathbb{R}^5
\beta=\left\{\,b_1=\begin{pmatrix}-4\\[2pt]4\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},\; b_2=\begin{pmatrix}-3\\[2pt]1\\[2pt]9\\[2pt]-4\\[2pt]-3\end{pmatrix},\; b_3=\begin{pmatrix}8\\[2pt]7\\[2pt]5\\[2pt]1\\[2pt]8\end{pmatrix},\; b_4=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-1\\[2pt]-1\\[2pt]-4\\[2pt]3\end{pmatrix},\; b_5=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]-3\\[2pt]2\\[2pt]3\\[2pt]3\end{pmatrix}\,\right\}
e o vetor
\vec{v}=\begin{pmatrix}5\\[2pt]21\\[2pt]25\\[2pt]22\\[2pt]9\end{pmatrix}.
A pergunta é: qual é a coordenada x_{4} do vetor \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} correspondente ao quarto vetor da base (isto é, à componente associada a b_{4})?]

Passo 2

Quando a base \beta é ortogonal, a componente x_j de \vec{v} na direção do vetor base b_j é dada pela projeção de \vec{v} sobre b_j. Mais precisamente, usando o produto interno usual (produto escalar), temos a fórmula
x_j=\frac{\langle \vec{v},\,b_j\rangle}{\langle b_j,\,b_j\rangle}.
Aqui \langle \vec{a},\vec{b}\rangle significa o produto escalar (ou dot product) entre \vec{a} e \vec{b}, que em coordenadas é a soma dos produtos das componentes correspondentes. A razão dessa fórmula vem de escrever \vec{v}=\sum_i x_i b_i, fazer produto escalar com b_j e usar que \langle b_i,b_j\rangle=0 para i\neq j (ortogonalidade), ficando \langle \vec{v},b_j\rangle = x_j\langle b_j,b_j\rangle. Então basta isolar x_j.

Passo 3

Calcular o numerador \langle \vec{v},\,b_4\rangle. Multiplico componente a componente e somo:
\langle \vec{v},\,b_4\rangle =5\cdot(-1)+21\cdot(-1)+25\cdot(-1)+22\cdot(-4)+9\cdot 3.
Agora faço as contas passo a passo:
5\cdot(-1)=-5,\quad 21\cdot(-1)=-21,\quad 25\cdot(-1)=-25,
22\cdot(-4)=-88,\quad 9\cdot 3=27.
Somando:
-5-21-25-88+27 = -112.
Logo \langle \vec{v},\,b_4\rangle = -112.

Passo 4

Calcular o denominador \langle b_4,\,b_4\rangle, que é o quadrado da norma de b_4. Soma dos quadrados das componentes de b_4:
\langle b_4,\,b_4\rangle = (-1)^2+(-1)^2+(-1)^2+(-4)^2+3^2 = 1+1+1+16+9 = 28.

Passo 5

Aplicando a fórmula da projeção para j=4:
x_{4}=\frac{\langle \vec{v},\,b_4\rangle}{\langle b_4,\,b_4\rangle}=\frac{-112}{28}.

Resposta

-4

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