Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & 2 & 1 & 9 \\\\ -1 & 2 & -1 & 5 \\\\ 1 & 0 & 3 & 1 \\\\ -1 & 0 & -1 & -1 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{2}, a 2^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear A\vec{x}=\vec{b} através da matriz aumentada
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & 2 & 1 & 9 \\\\ -1 & 2 & -1 & 5 \\\\ 1 & 0 & 3 & 1 \\\\ -1 & 0 & -1 & -1 \end{array}\right]
O que pedem: encontrar a solução no sentido dos mínimos quadrados e, em particular, o valor da segunda componente \,x_{2}\, da solução \vec{x}.
Informações dadas (extraídas da matriz aumentada): as linhas correspondem às equações com coeficientes das colunas e o vetor de termos independentes. Não há nenhuma outra informação externa.

Passo 2

Explicação conceitual (curta e necessária): a “solução no sentido dos mínimos quadrados” é o vetor \vec{x} que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2. Uma condição equivalente e prática para encontrar esse \vec{x} é resolver as equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Intuição: isso garante que o vetor resíduo \vec{r}=\vec{b}-A\vec{x} é ortogonal a todas as colunas de A. OK — agora vamos aplicar isso passo a passo com os números do enunciado.

Passo 3

Extraio explicitamente A e \vec{b} da matriz aumentada:
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1\\[4pt] -1 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 3\\[4pt] -1 & 0 & -1 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}9\\[4pt]5\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Vou calcular A^{T}A e A^{T}\vec{b} usando produtos internos (cada entrada de A^{T}A é o produto escalar entre colunas de A).]

Passo 4

Identifico as colunas de A (para facilitar os produtos):
\text{col}_1 = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},\quad \text{col}_2 = \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad \text{col}_3 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix}.
Agora calculemos os produtos escalares necessários para A^{T}A.

Passo 5

Cálculo das entradas de A^{T}A por produtos escalares (mostrando as somas):
\begin{aligned} \text{col}_1\cdot\text{col}_1 &= (-1)^2+(-1)^2+1^2+(-1)^2 = 1+1+1+1 = 4,\\[4pt] \text{col}_2\cdot\text{col}_2 &= 2^2+2^2+0^2+0^2 = 4+4+0+0 = 8,\\[4pt] \text{col}_3\cdot\text{col}_3 &= 1^2+(-1)^2+3^2+(-1)^2 = 1+1+9+1 = 12,\\[6pt] \text{col}_1\cdot\text{col}_2 &= (-1)\cdot2 + (-1)\cdot2 + 1\cdot0 + (-1)\cdot0 = -2-2+0+0 = -4,\\[4pt] \text{col}_1\cdot\text{col}_3 &= (-1)\cdot1 + (-1)\cdot(-1) + 1\cdot3 + (-1)\cdot(-1) = -1+1+3+1 = 4,\\[4pt] \text{col}_2\cdot\text{col}_3 &= 2\cdot1 + 2\cdot(-1) + 0\cdot3 + 0\cdot(-1) = 2-2+0+0 = 0. \end{aligned}
Portanto
A^{T}A = \begin{pmatrix} 4 & -4 & 4\\[4pt] -4 & 8 & 0\\[4pt] 4 & 0 & 12 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Cálculo de A^{T}\vec{b} (cada entrada é produto escalar entre coluna de A e \vec{b}):
\begin{aligned} \text{col}_1\cdot\vec{b} &= (-1)\cdot9 + (-1)\cdot5 + 1\cdot1 + (-1)\cdot(-1) = -9-5+1+1 = -12,\\[4pt] \text{col}_2\cdot\vec{b} &= 2\cdot9 + 2\cdot5 + 0\cdot1 + 0\cdot(-1) = 18+10+0+0 = 28,\\[4pt] \text{col}_3\cdot\vec{b} &= 1\cdot9 + (-1)\cdot5 + 3\cdot1 + (-1)\cdot(-1) = 9-5+3+1 = 8. \end{aligned}
Logo
A^{T}\vec{b} = \begin{pmatrix}-12\\[4pt]28\\[4pt]8\end{pmatrix}.]

Passo 7

As equações normais ficam
\begin{pmatrix} 4 & -4 & 4\\[4pt] -4 & 8 & 0\\[4pt] 4 & 0 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-12\\[4pt]28\\[4pt]8\end{pmatrix}.
Para simplificar os cálculos divido cada linha por 4 (os coeficientes da primeira e terceira linha permitem isso), obtendo o sistema equivalente
\begin{aligned} &x_{1}-x_{2}+x_{3} = -3,\\[4pt] &-x_{1}+2x_{2} = 7,\\[4pt] &x_{1}+3x_{3} = 2. \end{aligned}]

Passo 8

Resolvo o sistema simplificado por substituição (passo a passo):
Da segunda equação:
-x_{1}+2x_{2}=7 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2x_{2}-7.
Substituo em primeira e terceira equações.
Primeira:
(2x_{2}-7)-x_{2}+x_{3}=-3
que simplifica para
x_{2}+x_{3}=4 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=4-x_{2}.
Terceira:
(2x_{2}-7)+3x_{3}=2.
Substituindo x_{3}=4-x_{2}:
2x_{2}-7+3(4-x_{2})=2.
Calculo:
2x_{2}-7+12-3x_{2}=2 \quad\Rightarrow\quad -x_{2}+5=2 \quad\Rightarrow\quad -x_{2}=-3,
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x_{2}=3.
Com x_{2}=3 temos x_{3}=4-x_{2}=1 e x_{1}=2x_{2}-7=6-7=-1. Assim a solução dos mínimos quadrados é
\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Pequena verificação (opcional, mas reconfortante): o resíduo \vec{r}=\vec{b}-A\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix} é ortogonal às colunas de A, o que confirma que achamos a solução de mínimos quadrados (pois A^{T}\vec{r}=0).]

Resposta

(G) 3

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