O que pedem: encontrar a solução no sentido dos mínimos quadrados e, em particular, o valor da segunda componente \,x_{2}\, da solução \vec{x}.
Informações dadas (extraídas da matriz aumentada): as linhas correspondem às equações com coeficientes das colunas e o vetor de termos independentes. Não há nenhuma outra informação externa.
Passo 2
Explicação conceitual (curta e necessária): a “solução no sentido dos mínimos quadrados” é o vetor \vec{x} que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2. Uma condição equivalente e prática para encontrar esse \vec{x} é resolver as equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Intuição: isso garante que o vetor resíduo \vec{r}=\vec{b}-A\vec{x} é ortogonal a todas as colunas de A. OK — agora vamos aplicar isso passo a passo com os números do enunciado.
Passo 3
Extraio explicitamente A e \vec{b} da matriz aumentada:
Pequena verificação (opcional, mas reconfortante): o resíduo \vec{r}=\vec{b}-A\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix} é ortogonal às colunas de A, o que confirma que achamos a solução de mínimos quadrados (pois A^{T}\vec{r}=0).]