Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(3,1,-3),(-4,-1,4)\} \mathrm{e} \\\ M=\operatorname{span}\{(1,0,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(2, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^3
H=\operatorname{span}\{(3,1,-3),(-4,-1,4)\}
e
M=\operatorname{span}\{(1,0,1)\},
e pede: encontrar o vetor \vec{x}\in M^{\perp}\cap H que tenha a forma \vec{x}=(2,x_{2},x_{3}). Devemos então usar as informações fornecidas para obter condições que determinem x_{3} (e, se for o caso, x_{2}).

Passo 2

Entendendo M^{\perp}: um vetor (x_{1},x_{2},x_{3}) pertence a M^{\perp} se for ortogonal a (1,0,1), isto é, se o produto escalar for zero. Escrevemos:
( x_{1},x_{2},x_{3})\cdot(1,0,1)=0.
Isso dá a equação
x_{1}+x_{3}=0.
Portanto, qualquer vetor em M^{\perp} satisfaz \,x_{3}=-x_{1}.

Passo 3

Parametrizando H: um vetor genérico em H é combinação linear dos geradores. Escrevemos
(a,b)\in\mathbb{R}^{2}\mapsto a(3,1,-3)+b(-4,-1,4)=(3a-4b,\;a-b,\;-3a+4b).
Observe a relação entre a primeira e a terceira coordenada:
(3a-4b)+(-3a+4b)=0,
logo a terceira coordenada é o negativo da primeira, isto é, todo vetor de H satisfaz
x_{1}+x_{3}=0.
Assim conclui-se que todo vetor de H também pertence a M^{\perp}. Como ambos são planos de dimensão 2 em \mathbb{R}^{3}, na verdade
H=M^{\perp}=\{(u,v,-u)\mid u,v\in\mathbb{R}\}.
(Se quiser ver que qualquer (u,v,-u) está em H, resolva o sistema 3a-4b=u,\;a-b=v: tem solução b=3v-u,\;a=4v-u, portanto existe combinação linear.)

Passo 4

Agora imponha a condição pedida: procuramos \vec{x}\in M^{\perp}\cap H da forma \vec{x}=(2,x_{2},x_{3}). Pela condição geral em M^{\perp} (ou em H) temos x_{3}=-x_{1}. Como x_{1}=2, obtemos
x_{3}=-2.
O valor de x_{2} fica livre (qualquer x_{2} fornece um vetor em H e em M^{\perp}), mas a questão pede especificamente x_{3}.

Resposta

(G) -2

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