Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1
(A) -8
(B) -7
(C) -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1
Passo 1
O enunciado dá os subespaços de
e
e pede: encontrar o vetor
que tenha a forma
. Devemos então usar as informações fornecidas para obter condições que determinem
(e, se for o caso,
).
Passo 2
Entendendo
: um vetor
pertence a
se for ortogonal a
, isto é, se o produto escalar for zero. Escrevemos:
Isso dá a equação
Portanto, qualquer vetor em
satisfaz
.
Passo 3
Parametrizando
: um vetor genérico em
é combinação linear dos geradores. Escrevemos
Observe a relação entre a primeira e a terceira coordenada:
logo a terceira coordenada é o negativo da primeira, isto é, todo vetor de
satisfaz
Assim conclui-se que todo vetor de
também pertence a
. Como ambos são planos de dimensão
em
, na verdade
(Se quiser ver que qualquer
está em
, resolva o sistema
: tem solução
, portanto existe combinação linear.)
Passo 4
Agora imponha a condição pedida: procuramos
da forma
. Pela condição geral em
(ou em
) temos
. Como
, obtemos
O valor de
fica livre (qualquer
fornece um vetor em
e em
), mas a questão pede especificamente
.
Resposta
(G)