e o vetor \vec{v}=(-17,-15,-13,13,-13).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{3} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado me dá uma base ortogonal de \mathbb{R}^5 chamada \beta formada por cinco vetores (vou escrever cada vetor explicitamente) e o vetor \vec{v}. Pede para encontrar a terceira coordenada x_{3} do vetor de coordenadas \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} de \vec{v} em relação à base \beta. Os dados fornecidos são:
O que é pedido: calcular a entrada x_{3} do vetor de coordenadas \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} (ou seja, o coeficiente associado ao terceiro vetor da base).]
Passo 2
Conceito útil (explicado passo a passo, sem assumir que você já conhece): quando temos uma base ortogonal \{ \vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_n\} e escrevemos um vetor \vec{v} como combinação linear
podemos obter cada coordenada x_{j} usando o produto interno (produto escalar). O produto interno entre dois vetores \vec{a}=(a_1,\dots,a_n) e \vec{b}=(b_1,\dots,b_n) é
Como a base é ortogonal, \vec{u}_{i}\cdot\vec{u}_{j}=0 sempre que i\neq j. Então todos os termos da soma acima desaparecem, exceto o termo com i=j. Logo ficamos com
Interpretação simples: x_{j} é a razão entre a projeção de \vec{v} sobre \vec{u}_{j} (que é \vec{v}\cdot\vec{u}_{j} quando medimos na direção de \vec{u}_{j}) e o comprimento ao quadrado de \vec{u}_{j} (que é \vec{u}_{j}\cdot\vec{u}_{j}). Essa fórmula evita resolver sistemas lineares inteiros — é a dica do enunciado.
Passo 3
Vou aplicar a fórmula ao caso j=3. Identifico o terceiro vetor da base:
Calculo primeiro o produto interno \vec{v}\cdot\vec{u}_{3}. Lembro que \vec{v}=\begin{pmatrix}-17\\[2pt]-15\\[2pt]-13\\[2pt]13\\[2pt]-13\end{pmatrix}. Então