Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 6 \\\\ 1 \\\\ 4 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ -2 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ -1 \\\\ -2 \\\\ 3 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 4 \\\\ -3 \\\\ -4 \\\\ 8 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ 1 \\\\ 4 \\\\ -1 \\\\ 2 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(-17,-15,-13,13,-13).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{3} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado me dá uma base ortogonal de \mathbb{R}^5 chamada \beta formada por cinco vetores (vou escrever cada vetor explicitamente) e o vetor \vec{v}. Pede para encontrar a terceira coordenada x_{3} do vetor de coordenadas \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} de \vec{v} em relação à base \beta. Os dados fornecidos são:
\beta=\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]6\\[2pt]1\\[2pt]4\\[2pt]-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\[2pt]2\\[2pt]-3\\[2pt]-2\\[2pt]-2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2\\[2pt]-1\\[2pt]-2\\[2pt]3\\[2pt]2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\[2pt]4\\[2pt]-3\\[2pt]-4\\[2pt]8\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-4\\[2pt]1\\[2pt]4\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{pmatrix}\right\}
e
\vec{v}=\begin{pmatrix}-17\\[2pt]-15\\[2pt]-13\\[2pt]13\\[2pt]-13\end{pmatrix}.
O que é pedido: calcular a entrada x_{3} do vetor de coordenadas \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} (ou seja, o coeficiente associado ao terceiro vetor da base).]

Passo 2

Conceito útil (explicado passo a passo, sem assumir que você já conhece): quando temos uma base ortogonal \{ \vec{u}_1,\vec{u}_2,\dots,\vec{u}_n\} e escrevemos um vetor \vec{v} como combinação linear
\vec{v}=x_{1}\vec{u}_{1}+x_{2}\vec{u}_{2}+\cdots+x_{n}\vec{u}_{n},
podemos obter cada coordenada x_{j} usando o produto interno (produto escalar). O produto interno entre dois vetores \vec{a}=(a_1,\dots,a_n) e \vec{b}=(b_1,\dots,b_n) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}.
Agora aplico o produto interno com \vec{u}_{j} em ambos os lados da expressão para \vec{v}:
\vec{v}\cdot\vec{u}_{j}=x_{1}(\vec{u}_{1}\cdot\vec{u}_{j})+\cdots+x_{j}(\vec{u}_{j}\cdot\vec{u}_{j})+\cdots+x_{n}(\vec{u}_{n}\cdot\vec{u}_{j}).
Como a base é ortogonal, \vec{u}_{i}\cdot\vec{u}_{j}=0 sempre que i\neq j. Então todos os termos da soma acima desaparecem, exceto o termo com i=j. Logo ficamos com
\vec{v}\cdot\vec{u}_{j}=x_{j}\,(\vec{u}_{j}\cdot\vec{u}_{j}).
Isolando x_{j} obtemos a fórmula prática e importante:
x_{j}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}_{j}}{\vec{u}_{j}\cdot\vec{u}_{j}}.
Interpretação simples: x_{j} é a razão entre a projeção de \vec{v} sobre \vec{u}_{j} (que é \vec{v}\cdot\vec{u}_{j} quando medimos na direção de \vec{u}_{j}) e o comprimento ao quadrado de \vec{u}_{j} (que é \vec{u}_{j}\cdot\vec{u}_{j}). Essa fórmula evita resolver sistemas lineares inteiros — é a dica do enunciado.

Passo 3

Vou aplicar a fórmula ao caso j=3. Identifico o terceiro vetor da base:
\vec{u}_{3}=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]-1\\[2pt]-2\\[2pt]3\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Calculo primeiro o produto interno \vec{v}\cdot\vec{u}_{3}. Lembro que \vec{v}=\begin{pmatrix}-17\\[2pt]-15\\[2pt]-13\\[2pt]13\\[2pt]-13\end{pmatrix}. Então
\vec{v}\cdot\vec{u}_{3} = (-17)(-2)+(-15)(-1)+(-13)(-2)+13\cdot 3+(-13)\cdot 2.
Faço as multiplicações e somas uma a uma (mostrando cada passo para ficar bem claro):
(-17)(-2)=34,
(-15)(-1)=15,
(-13)(-2)=26,
13\cdot 3=39,
(-13)\cdot 2=-26.
Somando tudo:
34+15+26+39-26 = 34+15=49,\quad 49+26=75,\quad 75+39=114,\quad 114-26=88.
Portanto
\vec{v}\cdot\vec{u}_{3}=88.]

Passo 4

Agora calculo o denominador \vec{u}_{3}\cdot\vec{u}_{3}, que é o comprimento ao quadrado de \vec{u}_{3}:
\vec{u}_{3}\cdot\vec{u}_{3}=(-2)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}+3^{2}+2^{2}.
Calculo termo a termo:
(-2)^{2}=4,\quad (-1)^{2}=1,\quad (-2)^{2}=4,\quad 3^{2}=9,\quad 2^{2}=4.
Somando:
4+1+4+9+4 = 22.
Logo \vec{u}_{3}\cdot\vec{u}_{3}=22.

Passo 5

Aplico a fórmula para x_{3}:
x_{3}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}_{3}}{\vec{u}_{3}\cdot\vec{u}_{3}}=\frac{88}{22}.
Faço a divisão:
\frac{88}{22}=4.
Portanto a terceira coordenada é 4. Em termos da alternativa múltipla, isso corresponde à letra (H).

Resposta

(H) 4

Exercícios relacionados