Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - A imagem de uma rotação em
não é subespaço vetorial II -
não é subespaço vetorial.
III - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
não é um subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
I - A imagem de uma rotação em
III - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá três afirmativas sobre conjuntos em
e pede que determinemos quais são verdadeiras ou falsas:
I - A imagem de uma rotação em não é subespaço vetorial.
II - não é subespaço vetorial.
III - O conjunto solução do sistema linear homogêneo não é um subespaço vetorial.
I - A imagem de uma rotação em
II -
III - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
Informações dadas: cada afirmativa declara que um certo conjunto “não é subespaço vetorial”. Nosso trabalho é verificar, para cada conjunto, se de fato é (ou não é) subespaço vetorial.
Passo 2
Relembrando, de forma simples e prática, o que significa ser subespaço vetorial (vamos mastigar isso muito bem): um subconjunto
de
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades essenciais:
-
contém o vetor nulo . -
é fechado sob adição: se e , então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e , então .
Essas três verificações são suficientes (na prática é o que se usa na prova). Outra forma muito útil: se um conjunto pode ser escrito como o núcleo (kernel) de uma transformação linear ou como o span (combinação linear) de vetores, então é subespaço.
Passo 3
Afirmativa I: “A imagem de uma rotação em
não é subespaço vetorial.”
Primeiro, o que é a imagem de uma rotação? Seja
a rotação (um operador linear que gira vetores em torno de algum eixo). A imagem de
é o conjunto
Do ponto de vista linear: rotações são transformações lineares e, em
, uma rotação padrão é invertível (tem matriz ortogonal com determinante
). Uma transformação linear inversível é bijetora, logo sua imagem é todo o espaço
. Ou seja,
Agora aplicamos a definição de subespaço:
é, obviamente, um subespaço vetorial de si mesmo (contém
, fechado em soma e multiplicação por escalar). Portanto a imagem da rotação é um subespaço (é
). Logo a afirmativa I — que diz que a imagem “não é” subespaço — é falsa.
Observação didática extra (útil na prova): mesmo sem usar que a rotação é invertível, pode-se argumentar que toda imagem de uma transformação linear é um subespaço (pois se
é linear e
então
e
; e
). Para rotações, a imagem é ainda todo
.
Passo 4
Afirmativa II:
não é subespaço vetorial.
Definimos o conjunto
Verificações diretas pelo critério de subespaço:
-
Contém o zero? Substituindo
temos , verdadeiro. Então . -
Fechamento por soma e escalação — uma maneira prática é parametrizar
. Escrevendo em função de e , todo vetor de tem a forma
Colocando em forma de combinação linear (separamos os coeficientes
e
):
Isso mostra que
é o conjunto de todas as combinações lineares de
e
, isto é,
Qualquer span é, por definição, subespaço vetorial (contém o zero, fechado em soma e escalação). Portanto
é um subespaço.
Conclusão: a afirmativa II, que dizia que
“não é” subespaço, é falsa.
Passo 5
Afirmativa III: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo
não é um subespaço vetorial.”
Aqui o conjunto solução é justamente o núcleo (ou espaço nulo) da transformação linear associada à matriz
:
Mostremos que
é subespaço, usando as propriedades:
-
, logo . - Se
, então , então . - Se
e , então , logo .
Essas três propriedades mostram que o conjunto solução do sistema homogêneo é sempre um subespaço vetorial. Portanto a afirmativa III, que diz que ele “não é” subespaço, é falsa.
Observação útil para prova: o conjunto solução de um sistema homogêneo é sempre chamado de espaço nulo (nullspace) e é um subespaço linear.
Passo 6
Resumindo o que encontramos:
- I é falsa (a imagem de uma rotação é
, que é subespaço). - II é falsa (o conjunto é um plano passando pela origem, equivalente a um span de dois vetores).
- III é falsa (o conjunto solução do homogêneo é o núcleo de
, sempre subespaço).
Portanto todas as três afirmativas são falsas.
Resposta
(A)