Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial II - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=3 y-3 z\right\} não é subespaço vetorial.
III - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três afirmativas sobre conjuntos em \mathbb{R}^{3} e pede que determinemos quais são verdadeiras ou falsas:
I - A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial.
II - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=3 y-3 z\right\} não é subespaço vetorial.
III - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.
Informações dadas: cada afirmativa declara que um certo conjunto “não é subespaço vetorial”. Nosso trabalho é verificar, para cada conjunto, se de fato é (ou não é) subespaço vetorial.

Passo 2

Relembrando, de forma simples e prática, o que significa ser subespaço vetorial (vamos mastigar isso muito bem): um subconjunto W de \mathbb{R}^{n} é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades essenciais:
  1. W contém o vetor nulo \overrightarrow{0}.
  2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R}, então c\,u\in W.
Essas três verificações são suficientes (na prática é o que se usa na prova). Outra forma muito útil: se um conjunto pode ser escrito como o núcleo (kernel) de uma transformação linear ou como o span (combinação linear) de vetores, então é subespaço.

Passo 3

Afirmativa I: “A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial.”
Primeiro, o que é a imagem de uma rotação? Seja R:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} a rotação (um operador linear que gira vetores em torno de algum eixo). A imagem de R é o conjunto
\operatorname{Im}(R)=\{R(v)\mid v\in\mathbb{R}^{3}\}.
Do ponto de vista linear: rotações são transformações lineares e, em \mathbb{R}^{3}, uma rotação padrão é invertível (tem matriz ortogonal com determinante 1). Uma transformação linear inversível é bijetora, logo sua imagem é todo o espaço \mathbb{R}^{3}. Ou seja,
\operatorname{Im}(R)=\mathbb{R}^{3}.
Agora aplicamos a definição de subespaço: \mathbb{R}^{3} é, obviamente, um subespaço vetorial de si mesmo (contém \overrightarrow{0}, fechado em soma e multiplicação por escalar). Portanto a imagem da rotação é um subespaço (é \mathbb{R}^{3}). Logo a afirmativa I — que diz que a imagem “não é” subespaço — é falsa.
Observação didática extra (útil na prova): mesmo sem usar que a rotação é invertível, pode-se argumentar que toda imagem de uma transformação linear é um subespaço (pois se T é linear e u=T(a), v=T(b) então u+v=T(a+b) e c u=T(c a); e T(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0}). Para rotações, a imagem é ainda todo \mathbb{R}^{3}.

Passo 4

Afirmativa II: \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=3 y-3 z\right\} não é subespaço vetorial.
Definimos o conjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x=3y-3z\}.
Verificações diretas pelo critério de subespaço:
  1. Contém o zero? Substituindo (x,y,z)=(0,0,0) temos 0 = 3\cdot 0 - 3\cdot 0, verdadeiro. Então \overrightarrow{0}\in S.
  2. Fechamento por soma e escalação — uma maneira prática é parametrizar S. Escrevendo x em função de y e z, todo vetor de S tem a forma
(x,y,z) = (3y-3z,\, y,\, z).
Colocando em forma de combinação linear (separamos os coeficientes y e z):
(x,y,z) = y\,(3,1,0) + z\,(-3,0,1).
Isso mostra que S é o conjunto de todas as combinações lineares de (3,1,0) e (-3,0,1), isto é,
S = \operatorname{span}\{(3,1,0),\,(-3,0,1)\}.
Qualquer span é, por definição, subespaço vetorial (contém o zero, fechado em soma e escalação). Portanto S é um subespaço.
Conclusão: a afirmativa II, que dizia que S “não é” subespaço, é falsa.

Passo 5

Afirmativa III: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.”
Aqui o conjunto solução é justamente o núcleo (ou espaço nulo) da transformação linear associada à matriz A:
\ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\mid A\vec{x}=\overrightarrow{0}\}.
Mostremos que \ker(A) é subespaço, usando as propriedades:
  1. A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, logo \overrightarrow{0}\in\ker(A).
  2. Se u,v\in\ker(A), então A(u+v)=Au+Av=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, então u+v\in\ker(A).
  3. Se u\in\ker(A) e c\in\mathbb{R}, então A(cu)=c(Au)=c\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, logo cu\in\ker(A).
Essas três propriedades mostram que o conjunto solução do sistema homogêneo é sempre um subespaço vetorial. Portanto a afirmativa III, que diz que ele “não é” subespaço, é falsa.
Observação útil para prova: o conjunto solução de um sistema homogêneo é sempre chamado de espaço nulo (nullspace) e é um subespaço linear.

Passo 6

Resumindo o que encontramos:
  • I é falsa (a imagem de uma rotação é \mathbb{R}^{3}, que é subespaço).
  • II é falsa (o conjunto é um plano passando pela origem, equivalente a um span de dois vetores).
  • III é falsa (o conjunto solução do homogêneo é o núcleo de A, sempre subespaço).
Portanto todas as três afirmativas são falsas.

Resposta

(A)

Exercícios relacionados