Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de
p(x)=4 x^{2}-x+1 na reta gerada por
q(x)=2-x.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 4 x^{2}-x+1 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 2-x é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) \frac{32 x^{2}}{7}-\frac{8 x}{7}+\frac{8}{7}
(B) \frac{17}{7}-\frac{17 x}{14}
(C) \frac{36 x^{2}}{7}-\frac{9 x}{7}+\frac{9}{7}
(D) \frac{34 x^{2}}{7}-\frac{17 x}{14}+\frac{17}{14}
(E) \frac{18}{7}-\frac{9 x}{7}
(F) \frac{30 x^{2}}{7}-\frac{15 x}{14}+\frac{15}{14}
(G) \frac{16}{7}-\frac{8 x}{7}
(H) \frac{15}{7}-\frac{15 x}{14}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a projeção ortogonal de p(x)=4x^{2}-x+1 sobre a reta gerada por q(x)=2-x, no espaço \mathcal{P}_{2} com o produto interno
\langle r,s\rangle=\int_{0}^{1} r(x)s(x)\,dx.
Informações dadas:
p(x)=4x^{2}-x+1,\qquad q(x)=2-x,
e o produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle definido por integração em [0,1].
O objetivo explícito: determinar a projeção ortogonal de p sobre \mathrm{span}\{q\}, ou seja, encontrar o polinômio da forma c\,q(x) que é a projeção de p.

Passo 2

Conceito e fórmula da projeção ortogonal numa reta: se queremos a projeção ortogonal de p na reta gerada por q (assumindo q\neq 0), então a projeção é o múltiplo escalar de q
\text{proj}_{\langle q\rangle} p = c\,q,
onde o escalar c é obtido impondo que o erro p-cq seja ortogonal a q. Ou seja,
\langle p-cq,\,q\rangle=0.
Desenvolvendo essa condição obtemos a fórmula padrão:
c=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}.
Explicação rápida: \langle p-cq,q\rangle=\langle p,q\rangle-c\langle q,q\rangle=0 leva a c=\langle p,q\rangle/\langle q,q\rangle.

Passo 3

Agora vamos calcular \langle p,q\rangle. Primeiro multiplicamos os polinômios dentro da integral:
(4x^{2}-x+1)(2-x)= -4x^{3}+9x^{2}-3x+2.
Mostrei a expansão termo a termo: 4x^2\cdot2=8x^2, 4x^2\cdot(-x)=-4x^3; (-x)\cdot2=-2x, (-x)\cdot(-x)=x^2; 1\cdot2=2, 1\cdot(-x)=-x. Somando termos semelhantes: -4x^3+(8x^2+x^2)= -4x^3+9x^2 e -2x-x=-3x.
Portanto
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}\bigl(-4x^{3}+9x^{2}-3x+2\bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo (lembrando antiderivadas básicas: \int x^{n}dx=x^{n+1}/(n+1) para n\neq-1, e \int a\,dx = a x para constante a):
\int_{0}^{1}-4x^{3}\,dx = -4\cdot\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1} = -1,
\int_{0}^{1}9x^{2}\,dx = 9\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1} = 3,
\int_{0}^{1}-3x\,dx = -3\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1} = -\frac{3}{2},
\int_{0}^{1}2\,dx = 2x\Big|_{0}^{1} = 2.

Passo 5

Somando os valores obtidos:
\langle p,q\rangle = -1 + 3 - \frac{3}{2} + 2.
Agrupando: -1+3+2 =4, logo 4-\tfrac{3}{2} = \tfrac{5}{2}. Portanto
\langle p,q\rangle=\frac{5}{2}.

Passo 6

Agora calculamos \langle q,q\rangle:
\langle q,q\rangle=\int_{0}^{1}(2-x)^{2}\,dx=\int_{0}^{1}(4-4x+x^{2})\,dx.

Passo 7

Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}4\,dx = 4,
\int_{0}^{1}-4x\,dx = -4\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1} = -2,
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Somando: 4-2+\tfrac{1}{3}=2+\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}. Assim
\langle q,q\rangle=\frac{7}{3}.

Passo 8

Calculamos o coeficiente c:
c=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}=\frac{\tfrac{5}{2}}{\tfrac{7}{3}}=\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{7}=\frac{15}{14}.

Passo 9

Logo a projeção ortogonal é
\text{proj}_{\langle q\rangle} p = c\,q(x)=\frac{15}{14}(2-x).
Expandindo e simplificando:
\frac{15}{14}(2-x)=\frac{30}{14}-\frac{15}{14}x=\frac{15}{7}-\frac{15}{14}x.
Entre as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa \text{(H)}.

Resposta

\displaystyle \frac{15}{7}-\frac{15 x}{14}

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