Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=4 x^{2}-x+1 na reta gerada por q(x)=2-x.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 4 x^{2}-x+1 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 2-x é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) \frac{32 x^{2}}{7}-\frac{8 x}{7}+\frac{8}{7}
(B) \frac{17}{7}-\frac{17 x}{14}
(C) \frac{36 x^{2}}{7}-\frac{9 x}{7}+\frac{9}{7}
(D) \frac{34 x^{2}}{7}-\frac{17 x}{14}+\frac{17}{14}
(E) \frac{18}{7}-\frac{9 x}{7}
(F) \frac{30 x^{2}}{7}-\frac{15 x}{14}+\frac{15}{14}
(G) \frac{16}{7}-\frac{8 x}{7}
(H) \frac{15}{7}-\frac{15 x}{14}
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a projeção ortogonal de p(x)=4x^{2}-x+1 sobre a reta gerada por q(x)=2-x, no espaço \mathcal{P}_{2} com o produto interno
\langle r,s\rangle=\int_{0}^{1} r(x)s(x)\,dx.
Informações dadas:
p(x)=4x^{2}-x+1,\qquad q(x)=2-x,
e o produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle definido por integração em [0,1].
O objetivo explícito: determinar a projeção ortogonal de p sobre \mathrm{span}\{q\}, ou seja, encontrar o polinômio da forma c\,q(x) que é a projeção de p.
Passo 2
Conceito e fórmula da projeção ortogonal numa reta: se queremos a projeção ortogonal de p na reta gerada por q (assumindo q\neq 0), então a projeção é o múltiplo escalar de q
\text{proj}_{\langle q\rangle} p = c\,q,
onde o escalar c é obtido impondo que o erro p-cq seja ortogonal a q. Ou seja,
\langle p-cq,\,q\rangle=0.
Desenvolvendo essa condição obtemos a fórmula padrão:
Agora vamos calcular \langle p,q\rangle. Primeiro multiplicamos os polinômios dentro da integral:
(4x^{2}-x+1)(2-x)= -4x^{3}+9x^{2}-3x+2.
Mostrei a expansão termo a termo: 4x^2\cdot2=8x^2, 4x^2\cdot(-x)=-4x^3; (-x)\cdot2=-2x, (-x)\cdot(-x)=x^2; 1\cdot2=2, 1\cdot(-x)=-x. Somando termos semelhantes: -4x^3+(8x^2+x^2)= -4x^3+9x^2 e -2x-x=-3x.