e o vetor \vec{v}=(-10,14,-29,-9,4).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{4} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá uma base ortogonal \beta de \mathbb{R}^5 formada por cinco vetores (vou chamar de \vec{b}_1,\dots,\vec{b}_5) e o vetor \vec{v}. As informações relevantes são:
O que o problema pede: seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} na base \beta. Calcular a entrada x_{4} (ou seja, o coeficiente da quarta base \vec{b}_4).
Observação do enunciado: a base é ortogonal — isso é importante para usar uma fórmula direta sem resolver sistemas lineares.
Passo 2
Fórmula útil em bases ortogonais (explicação e demonstração curta):
Se \beta=\{\vec{b}_1,\dots,\vec{b}_n\} é uma base ortogonal e escrevemos
\vec{v}=x_1\vec{b}_1+\cdots+x_n\vec{b}_n,
então, tomando o produto interno com \vec{b}_j obtemos
Esta é a fórmula que vamos usar: para uma base ortogonal, cada coordenada é o produto interno de \vec{v} com a base dividido pelo quadrado da norma do vetor da base.
Passo 3
Lembrete rápido sobre produto interno (dot product) e norma:
Produto interno entre dois vetores \vec{u}=(u_1,\dots,u_n) e \vec{w}=(w_1,\dots,w_n) é
\vec{u}\cdot\vec{w} = u_1w_1 + \cdots + u_nw_n.
A norma ao quadrado de \vec{u} é \|\vec{u}\|^2 = \vec{u}\cdot\vec{u}.
Exemplo pequeno para fixar: se \vec{a}=(1,2) e \vec{b}=(3,-1), então \vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot3+2\cdot(-1)=3-2=1.
Agora aplicamos essas definições ao nosso caso com \vec{b}_4.
Passo 4
Identificamos \vec{b}_4 (peguei do enunciado a lista de vetores):