Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ -1 \\\\ 3 \\\\ -1 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -3 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 5 \\\\ 8 \\\\ 7 \\\\ 8 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 4 \\\\ -4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ 9 \\\\ -3 \\\\ 1 \\\\ -3 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(-10,14,-29,-9,4).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{4} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma base ortogonal \beta de \mathbb{R}^5 formada por cinco vetores (vou chamar de \vec{b}_1,\dots,\vec{b}_5) e o vetor \vec{v}. As informações relevantes são:
\vec{b}_1=\begin{pmatrix}-4\\\ -1\\\ 3\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix},\quad \vec{b}_2=\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 3\\\ -3\\\ -2\end{pmatrix},\quad \vec{b}_3=\begin{pmatrix}1\\\ 5\\\ 8\\\ 7\\\ 8\end{pmatrix},
\vec{b}_4=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\\\ 4\\\ -4\end{pmatrix},\quad \vec{b}_5=\begin{pmatrix}-4\\\ 9\\\ -3\\\ 1\\\ -3\end{pmatrix},
e
\vec{v}=\begin{pmatrix}-10\\\ 14\\\ -29\\\ -9\\\ 4\end{pmatrix}.
O que o problema pede: seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} na base \beta. Calcular a entrada x_{4} (ou seja, o coeficiente da quarta base \vec{b}_4).
Observação do enunciado: a base é ortogonal — isso é importante para usar uma fórmula direta sem resolver sistemas lineares.

Passo 2

Fórmula útil em bases ortogonais (explicação e demonstração curta):
Se \beta=\{\vec{b}_1,\dots,\vec{b}_n\} é uma base ortogonal e escrevemos
\vec{v}=x_1\vec{b}_1+\cdots+x_n\vec{b}_n,
então, tomando o produto interno com \vec{b}_j obtemos
\vec{v}\cdot\vec{b}_j = \sum_{i=1}^n x_i(\vec{b}_i\cdot\vec{b}_j).
Como a base é ortogonal, \vec{b}_i\cdot\vec{b}_j=0 para i\ne j, e sobra apenas o termo i=j. Logo
\vec{v}\cdot\vec{b}_j = x_j(\vec{b}_j\cdot\vec{b}_j).
Dessa equação isolamos
x_j=\frac{\vec{v}\cdot\vec{b}_j}{\vec{b}_j\cdot\vec{b}_j}.
Esta é a fórmula que vamos usar: para uma base ortogonal, cada coordenada é o produto interno de \vec{v} com a base dividido pelo quadrado da norma do vetor da base.

Passo 3

Lembrete rápido sobre produto interno (dot product) e norma:
  • Produto interno entre dois vetores \vec{u}=(u_1,\dots,u_n) e \vec{w}=(w_1,\dots,w_n) é
\vec{u}\cdot\vec{w} = u_1w_1 + \cdots + u_nw_n.
  • A norma ao quadrado de \vec{u} é \|\vec{u}\|^2 = \vec{u}\cdot\vec{u}.
Exemplo pequeno para fixar: se \vec{a}=(1,2) e \vec{b}=(3,-1), então \vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot3+2\cdot(-1)=3-2=1.
Agora aplicamos essas definições ao nosso caso com \vec{b}_4.

Passo 4

Identificamos \vec{b}_4 (peguei do enunciado a lista de vetores):
\vec{b}_4=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\\\ 4\\\ -4\end{pmatrix}.
Vamos calcular \vec{v}\cdot\vec{b}_4 termo a termo usando \vec{v}=(-10,14,-29,-9,4):
\vec{v}\cdot\vec{b}_4 = (-10)\cdot 1 + 14\cdot(-1) + (-29)\cdot 1 + (-9)\cdot 4 + 4\cdot(-4).
Calcule cada produto:
(-10)\cdot 1 = -10,\quad 14\cdot(-1) = -14,\quad (-29)\cdot 1 = -29,
(-9)\cdot 4 = -36,\quad 4\cdot(-4) = -16.
Agora some todos:
\vec{v}\cdot\vec{b}_4 = -10 -14 -29 -36 -16 = -105.

Passo 5

Calculemos \vec{b}_4\cdot\vec{b}_4 (norma ao quadrado de \vec{b}_4):
\vec{b}_4\cdot\vec{b}_4 = 1^2 + (-1)^2 + 1^2 + 4^2 + (-4)^2.
Cada termo:
1^2=1,\quad (-1)^2=1,\quad 1^2=1,\quad 4^2=16,\quad (-4)^2=16.
Soma:
\vec{b}_4\cdot\vec{b}_4 = 1+1+1+16+16 = 35.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da Passo 2 para x_4:
x_4=\frac{\vec{v}\cdot\vec{b}_4}{\vec{b}_4\cdot\vec{b}_4}=\frac{-105}{35}.
Simplificando -105/35 (dividindo numerador e denominador por 35):
x_4 = -3.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: obtivemos x_4=-3. Faz sentido numericamente e é consistente com a fórmula para coordenadas em base ortogonal.

Resposta

(B) -3

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