Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=6 y+6\right\} não é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema A \vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b} \neq \overrightarrow{0} não é subespaço vetorial.
III - O núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmativas e pede que eu determine quais são verdadeiras ou falsas:
I - \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=6y+6\} não é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema A\vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b}\neq\overrightarrow{0}, não é subespaço vetorial.
III - O núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^3 não é subespaço vetorial.
Preciso decidir, para cada afirmativa, se ela é verdadeira ou falsa e então escolher a alternativa correta entre (A) a (H).

Passo 2

Definição e critérios práticos para saber se um conjunto S\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço vetorial:
  • Um subespaço deve conter o vetor nulo \overrightarrow{0}.
  • Deve ser fechado sob soma: se \vec{u},\vec{v}\in S então \vec{u}+\vec{v}\in S.
  • Deve ser fechado sob multiplicação por escalar: se \vec{u}\in S e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda\vec{u}\in S.
    Esses três juntos são equivalentes — na prática costuma-se verificar se o conjunto contém \overrightarrow{0} e se é fechado por combinação linear, ou mostrar diretamente falha em alguma das propriedades para provar que não é subespaço.

Passo 3

Analisando a afirmativa I:
O conjunto é \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=6y+6\}. Vou verificar se o vetor nulo \overrightarrow{0}=(0,0,0) pertence a esse conjunto: substituindo y=0 obtemos z=6\cdot 0 + 6 = 6. Então o ponto correspondente seria (x,0,6) — em particular (0,0,0) não satisfaz z=6y+6. Logo \overrightarrow{0}\notin conjunto. Pela condição necessária de conter o zero, o conjunto não é subespaço vetorial. Conclusão: a afirmativa I diz que “não é subespaço vetorial” — isso é verdadeiro.
(Dica didática curta) Quando uma equação afim tem termo constante (aqui o +6), a superfície é deslocada e normalmente não passa pela origem — sinal clássico de NÃO-subespaço.

Passo 4

Analisando a afirmativa II:
Considere o sistema linear A\vec{x}=\vec{b} com \vec{b}\neq\overrightarrow{0}. Suponha que exista pelo menos uma solução \vec{x}_p (caso sem solução o conjunto solução é vazio, que também não é subespaço, exceto que alguns definem vazio como não subespaço). A estrutura geral das soluções é:
\{\vec{x}\mid A\vec{x}=\vec{b}\} = \vec{x}_p + \ker(A),
ou seja, é uma translação (um conjunto afim) do núcleo \ker(A). Verifico se o conjunto contém \overrightarrow{0}: \overrightarrow{0} pertence ao conjunto solução se, e somente se, A\overrightarrow{0}=\vec{b}, isto é \vec{b}=\overrightarrow{0}. Mas o enunciado diz \vec{b}\neq\overrightarrow{0}, então \overrightarrow{0}\notin conjunto solução. Portanto o conjunto solução não é subespaço vetorial. Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
(Outra forma didática) Se \vec{x} resolve A\vec{x}=\vec{b}, então para \lambda\in\mathbb{R} temos A(\lambda\vec{x})=\lambda\vec{b}. Para \lambda\neq 1 isso não é \vec{b} (quando \vec{b}\neq 0), mostrando falha na homogeneidade.

Passo 5

Analisando a afirmativa III:
Primeiro lembrar definição: o núcleo (ou kernel) de uma transformação linear T\colon V\to W é \ker(T)=\{\vec{v}\in V\mid T(\vec{v})=\overrightarrow{0}\}. Um fato fundamental (e fácil de provar) é que o núcleo de qualquer aplicação linear é sempre um subespaço do domínio: contém \overrightarrow{0}, e se u,v\in\ker(T) então T(u+v)=T(u)+T(v)=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, e para \lambda\in\mathbb{R} temos T(\lambda u)=\lambda T(u)=\overrightarrow{0}. Assim \ker(T) é fechado por soma e por escalares. Portanto, para qualquer transformação linear (incluindo rotações lineares), o núcleo é um subespaço.
Além disso, uma rotação em \mathbb{R}^3 (entendida como aplicação linear ortogonal de rotação em torno de um eixo que passa pela origem, ou qualquer rotação linear) é um mapa linear; para rotações próprias não degeneradas o mapa é invertível, então \ker(\text{rotação})=\{\overrightarrow{0}\}çã — o subconjunto trivial que também é subespaço. Em qualquer caso, seja núcleo trivial ou não, por teoria de transformações lineares o núcleo sempre é subespaço. Portanto a afirmativa III, que diz “o núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^3 não é subespaço vetorial”, é falsa.

Passo 6

Recapitulando as conclusões:
  • I é verdadeira (o conjunto com z=6y+6 não passa pela origem, logo não é subespaço).
  • II é verdadeira (conjunto solução de A\vec{x}=\vec{b} com \vec{b}\neq\overrightarrow{0} é uma translação do núcleo, não contém o zero, logo não é subespaço).
  • III é falsa (o núcleo de qualquer transformação linear é sempre subespaço; no caso de rotação é tipicamente \{\overrightarrow{0}\}, que é subespaço).
Portanto as afirmativas verdadeiras são I e II apenas.

Resposta

(D) Só I e II são verdadeiras.

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