Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I -
não é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema
, onde
não é subespaço vetorial.
III - O núcleo de uma rotação em
não é subespaço vetorial
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I -
II - O conjunto solução do sistema
III - O núcleo de uma rotação em
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmativas e pede que eu determine quais são verdadeiras ou falsas:
I - não é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema , onde
, não é subespaço vetorial.
III - O núcleo de uma rotação em não é subespaço vetorial.
Preciso decidir, para cada afirmativa, se ela é verdadeira ou falsa e então escolher a alternativa correta entre a
.
I -
II - O conjunto solução do sistema
III - O núcleo de uma rotação em
Preciso decidir, para cada afirmativa, se ela é verdadeira ou falsa e então escolher a alternativa correta entre
Passo 2
Definição e critérios práticos para saber se um conjunto
é subespaço vetorial:
- Um subespaço deve conter o vetor nulo
. - Deve ser fechado sob soma: se
então . - Deve ser fechado sob multiplicação por escalar: se
e então .
Esses três juntos são equivalentes — na prática costuma-se verificar se o conjunto contéme se é fechado por combinação linear, ou mostrar diretamente falha em alguma das propriedades para provar que não é subespaço.
Passo 3
Analisando a afirmativa I:
O conjunto é . Vou verificar se o vetor nulo
pertence a esse conjunto: substituindo
obtemos
. Então o ponto correspondente seria
— em particular
não satisfaz
. Logo
conjunto. Pela condição necessária de conter o zero, o conjunto não é subespaço vetorial. Conclusão: a afirmativa I diz que “não é subespaço vetorial” — isso é verdadeiro.
O conjunto é
(Dica didática curta) Quando uma equação afim tem termo constante (aqui o
), a superfície é deslocada e normalmente não passa pela origem — sinal clássico de NÃO-subespaço.
Passo 4
Analisando a afirmativa II:
Considere o sistema linear com
. Suponha que exista pelo menos uma solução
(caso sem solução o conjunto solução é vazio, que também não é subespaço, exceto que alguns definem vazio como não subespaço). A estrutura geral das soluções é:
Considere o sistema linear
ou seja, é uma translação (um conjunto afim) do núcleo
. Verifico se o conjunto contém
:
pertence ao conjunto solução se, e somente se,
, isto é
. Mas o enunciado diz
, então
conjunto solução. Portanto o conjunto solução não é subespaço vetorial. Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
(Outra forma didática) Se
resolve
, então para
temos
. Para
isso não é
(quando
), mostrando falha na homogeneidade.
Passo 5
Analisando a afirmativa III:
Primeiro lembrar definição: o núcleo (ou kernel) de uma transformação linear é
. Um fato fundamental (e fácil de provar) é que o núcleo de qualquer aplicação linear é sempre um subespaço do domínio: contém
, e se
então
, e para
temos
. Assim
é fechado por soma e por escalares. Portanto, para qualquer transformação linear (incluindo rotações lineares), o núcleo é um subespaço.
Primeiro lembrar definição: o núcleo (ou kernel) de uma transformação linear
Além disso, uma rotação em
(entendida como aplicação linear ortogonal de rotação em torno de um eixo que passa pela origem, ou qualquer rotação linear) é um mapa linear; para rotações próprias não degeneradas o mapa é invertível, então
— o subconjunto trivial que também é subespaço. Em qualquer caso, seja núcleo trivial ou não, por teoria de transformações lineares o núcleo sempre é subespaço. Portanto a afirmativa III, que diz “o núcleo de uma rotação em
não é subespaço vetorial”, é falsa.
Passo 6
Recapitulando as conclusões:
- I é verdadeira (o conjunto com
não passa pela origem, logo não é subespaço). - II é verdadeira (conjunto solução de
com é uma translação do núcleo, não contém o zero, logo não é subespaço). - III é falsa (o núcleo de qualquer transformação linear é sempre subespaço; no caso de rotação é tipicamente
, que é subespaço).
Portanto as afirmativas verdadeiras são I e II apenas.
Resposta
(D) Só I e II são verdadeiras.