Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de
p(x)=3 x^{2}+4 x-4 na reta gerada por
q(x)=3 x-3.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 3 x^{2}+4 x-4 no intervalo [ 0,1 ] por um múltiplo de 3 x-3 é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) \frac{13 x^{2}}{4}+\frac{13 x}{3}-\frac{13}{3}
(B) 3 x-3
(C) \frac{5 x}{2}-\frac{5}{2}
(D) \frac{11 x^{2}}{4}+\frac{11 x}{3}-\frac{11}{3}
(E) 3 x^{2}+4 x-4
(F) \frac{11 x}{4}-\frac{11}{4}
(G) \frac{13 x}{4}-\frac{13}{4}
(H) \frac{5 x^{2}}{2}+\frac{10 x}{3}-\frac{10}{3}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a projeção ortogonal de p(x)=3x^{2}+4x-4 na reta (subespaço de dimensão 1) gerada por q(x)=3x-3, usando o produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}p(x)q(x)\,dx.
Informações dadas importantes:
p(x)=3x^{2}+4x-4,\qquad q(x)=3x-3,
e o produto interno é a integral no intervalo [0,1]. A resposta buscada é um polinômio da forma k\,q(x) (algum escalar k multiplicando q).

Passo 2

Motivação e fórmula da projeção (explicação didática): em um espaço com produto interno, a projeção ortogonal de um vetor p sobre a reta gerada por q é o múltiplo de q que minimiza a norma de p-kq. Igualando a derivada em relação a k a zero ou usando a propriedade de ortogonalidade, obtemos a fórmula padrão:
\text{proj}_{\langle q\rangle} p = \frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}\,q.
Aqui \langle p,q\rangle é o número real dado por \int_{0}^{1}p(x)q(x)\,dx e \langle q,q\rangle=\int_{0}^{1}q(x)^{2}\,dx. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular \langle p,q\rangle. Primeiro formamos o produto ponto a ponto e simplificamos (faço expansão explícita para não sobrar dúvida):
p(x)q(x)=(3x^{2}+4x-4)(3x-3)=3(3x^{2}+4x-4)(x-1).
Calculo (3x^{2}+4x-4)(x-1) por distribuição:
(3x^{2}+4x-4)(x-1)=3x^{3}+4x^{2}-4x-3x^{2}-4x+4=3x^{3}+x^{2}-8x+4.
Multiplicando por 3 (pois 3x-3=3(x-1)):
p(x)q(x)=9x^{3}+3x^{2}-24x+12.

Passo 4

Integro termo a termo para obter \langle p,q\rangle:
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}\bigl(9x^{3}+3x^{2}-24x+12\bigr)\,dx.
Antiderivadas e avaliação em 0 e 1:
\int_{0}^{1}9x^{3}\,dx=9\cdot\frac{1}{4}=\frac{9}{4}, \qquad \int_{0}^{1}3x^{2}\,dx=3\cdot\frac{1}{3}=1,
\int_{0}^{1}-24x\,dx=-24\cdot\frac{1}{2}=-12, \qquad \int_{0}^{1}12\,dx=12\cdot1=12.
Somando:
\langle p,q\rangle=\frac{9}{4}+1-12+12=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}.

Passo 5

Calcular \langle q,q\rangle. Escrevo q(x)=3(x-1), então
\langle q,q\rangle=\int_{0}^{1}(3x-3)^{2}\,dx=9\int_{0}^{1}(x-1)^{2}\,dx.
Expando e integro:
(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1,
\int_{0}^{1}(x^{2}-2x+1)\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}-1+1=\frac{1}{3}.
Portanto
\langle q,q\rangle=9\cdot\frac{1}{3}=3.

Passo 6

Calcular o coeficiente escalar e a projeção. Usando a fórmula:
\text{proj}_{\langle q\rangle} p = \frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}\,q = \frac{\tfrac{13}{4}}{3}\,q = \frac{13}{12}\,q.
Substituo q(x)=3x-3:
\text{proj}_{\langle q\rangle} p(x)=\frac{13}{12}(3x-3)=\frac{13}{4}(x-1)=\frac{13x}{4}-\frac{13}{4}.

Passo 7

Interpretação rápida: o resultado é o múltiplo de q que torna p-projeção ortogonal perpendicular a q. Se quiser, você pode checar que \langle p-\text{proj}\,p,q\rangle=0 usando os valores calculados acima.

Resposta

\frac{13x}{4}-\frac{13}{4}

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