Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo [ 0,1 ] por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a projeção ortogonal de
na reta (subespaço de dimensão 1) gerada por
, usando o produto interno
Informações dadas importantes:
e o produto interno é a integral no intervalo
. A resposta buscada é um polinômio da forma
(algum escalar
multiplicando
).
Passo 2
Motivação e fórmula da projeção (explicação didática): em um espaço com produto interno, a projeção ortogonal de um vetor
sobre a reta gerada por
é o múltiplo de
que minimiza a norma de
. Igualando a derivada em relação a
a zero ou usando a propriedade de ortogonalidade, obtemos a fórmula padrão:
Aqui
é o número real dado por
e
. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Calcular
. Primeiro formamos o produto ponto a ponto e simplificamos (faço expansão explícita para não sobrar dúvida):
Calculo
por distribuição:
Multiplicando por
(pois
):
Passo 4
Integro termo a termo para obter
:
Antiderivadas e avaliação em
e
:
Somando:
Passo 5
Calcular
. Escrevo
, então
Expando e integro:
Portanto
Passo 6
Calcular o coeficiente escalar e a projeção. Usando a fórmula:
Substituo
:
Passo 7
Interpretação rápida: o resultado é o múltiplo de
que torna
projeção ortogonal perpendicular a
. Se quiser, você pode checar que
usando os valores calculados acima.