e o vetor \vec{v}=(-27,-13,1,-8,-12).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{2} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
Foi dada uma base ortogonal de \mathbb{R}^5:\beta=\left\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}\right\},ondeb_{1}=\begin{bmatrix}-1\\[2pt]2\\[2pt]3\\[2pt]-2\\[2pt]-2\end{bmatrix},\quad b_{2}=\begin{bmatrix}6\\[2pt]-1\\[2pt]4\\[2pt]1\\[2pt]1\end{bmatrix},\quad b_{3}=\begin{bmatrix}4\\[2pt]8\\[2pt]-4\\[2pt]-3\\[2pt]3\end{bmatrix},\quad b_{4}=\begin{bmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]-1\\[2pt]4\\[2pt]-4\end{bmatrix},\quad b_{5}=\begin{bmatrix}2\\[2pt]-2\\[2pt]-2\\[2pt]-3\\[2pt]-3\end{bmatrix}.
O vetor \vec{v} é\vec{v}=\begin{bmatrix}-27\\[2pt]-13\\[2pt]1\\[2pt]-8\\[2pt]-12\end{bmatrix}.
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}) o vetor de coordenadas de \vec{v} na base \beta.
O enunciado pede: calcular a entrada x_{2} (ou seja, a segunda coordenada de \vec{v} na base \beta).
Dica do enunciado: não é necessário resolver um sistema linear.]
Passo 2
Por que, para uma base ortogonal, não é preciso resolver sistema linear: fórmula da coordenada.
Definição prática do produto interno (produto escalar em \mathbb{R}^n): para vetores u=(u_{1},\dots,u_{n}) e w=(w_{1},\dots,w_{n}),\langle u,w\rangle = u_{1}w_{1}+u_{2}w_{2}+\cdots+u_{n}w_{n}.Esse é o mesmo que o produto escalar u\cdot w.
Se a base \{b_{1},\dots,b_{5}\} é ortogonal, então \langle b_{i},b_{j}\rangle=0 para i\neq j.
Escrevendo \vec{v} como combinação linear em \beta:\vec{v}=x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+x_{3}b_{3}+x_{4}b_{4}+x_{5}b_{5}.Tomando produto interno com b_{2} em ambos os lados e usando ortogonalidade, todos os termos com b_{j} para j\neq2 desaparecem:\langle \vec{v},b_{2}\rangle = x_{2}\,\langle b_{2},b_{2}\rangle.
Portanto a fórmula prática para a coordenada x_{2} éx_{2} = \frac{\langle \vec{v},b_{2}\rangle}{\langle b_{2},b_{2}\rangle}.Esta é a razão entre a projeção de \vec{v} na direção de b_{2} e o quadrado da norma de b_{2}. Não precisamos resolver um sistema linear.