Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -2 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 6 \\\\ -1 \\\\ 4 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ 8 \\\\ -4 \\\\ -3 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\ 4 \\\\ -4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ -2 \\\\ -2 \\\\ -3 \\\\ -3 \end{array}\right]\right\}
e o vetor
\vec{v}=(-27,-13,1,-8,-12).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{2} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Foi dada uma base ortogonal de \mathbb{R}^5: \beta=\left\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}\right\},onde b_{1}=\begin{bmatrix}-1\\[2pt]2\\[2pt]3\\[2pt]-2\\[2pt]-2\end{bmatrix},\quad b_{2}=\begin{bmatrix}6\\[2pt]-1\\[2pt]4\\[2pt]1\\[2pt]1\end{bmatrix},\quad b_{3}=\begin{bmatrix}4\\[2pt]8\\[2pt]-4\\[2pt]-3\\[2pt]3\end{bmatrix},\quad b_{4}=\begin{bmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]-1\\[2pt]4\\[2pt]-4\end{bmatrix},\quad b_{5}=\begin{bmatrix}2\\[2pt]-2\\[2pt]-2\\[2pt]-3\\[2pt]-3\end{bmatrix}.
  • O vetor \vec{v} é \vec{v}=\begin{bmatrix}-27\\[2pt]-13\\[2pt]1\\[2pt]-8\\[2pt]-12\end{bmatrix}.
  • Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}) o vetor de coordenadas de \vec{v} na base \beta.
  • O enunciado pede: calcular a entrada x_{2} (ou seja, a segunda coordenada de \vec{v} na base \beta).
  • Dica do enunciado: não é necessário resolver um sistema linear.]

Passo 2

Por que, para uma base ortogonal, não é preciso resolver sistema linear: fórmula da coordenada.
  • Definição prática do produto interno (produto escalar em \mathbb{R}^n): para vetores u=(u_{1},\dots,u_{n}) e w=(w_{1},\dots,w_{n}), \langle u,w\rangle = u_{1}w_{1}+u_{2}w_{2}+\cdots+u_{n}w_{n}.Esse é o mesmo que o produto escalar u\cdot w.
  • Se a base \{b_{1},\dots,b_{5}\} é ortogonal, então \langle b_{i},b_{j}\rangle=0 para i\neq j.
  • Escrevendo \vec{v} como combinação linear em \beta: \vec{v}=x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+x_{3}b_{3}+x_{4}b_{4}+x_{5}b_{5}.Tomando produto interno com b_{2} em ambos os lados e usando ortogonalidade, todos os termos com b_{j} para j\neq2 desaparecem: \langle \vec{v},b_{2}\rangle = x_{2}\,\langle b_{2},b_{2}\rangle.
  • Portanto a fórmula prática para a coordenada x_{2} é x_{2} = \frac{\langle \vec{v},b_{2}\rangle}{\langle b_{2},b_{2}\rangle}.Esta é a razão entre a projeção de \vec{v} na direção de b_{2} e o quadrado da norma de b_{2}. Não precisamos resolver um sistema linear.

Passo 3

Calcular \langle \vec{v},b_{2}\rangle (produto escalar).
  • Usando as entradas de \vec{v} e b_{2}: \langle \vec{v},b_{2}\rangle = (-27)\cdot 6 + (-13)\cdot(-1) + 1\cdot 4 + (-8)\cdot 1 + (-12)\cdot 1.
  • Fazer as contas termo a termo: (-27)\cdot 6 = -162,\quad (-13)\cdot(-1)=13,\quad 1\cdot 4=4,\quad (-8)\cdot 1=-8,\quad (-12)\cdot 1=-12.
  • Somando: \langle \vec{v},b_{2}\rangle = -162 + 13 + 4 - 8 - 12.
  • Portanto \langle \vec{v},b_{2}\rangle = -165.

Passo 4

Calcular \langle b_{2},b_{2}\rangle (norma ao quadrado de b_{2}).
  • Compondo: \langle b_{2},b_{2}\rangle = 6^{2}+(-1)^{2}+4^{2}+1^{2}+1^{2}.
  • Calculando: 6^{2}=36,\quad (-1)^{2}=1,\quad 4^{2}=16,\quad 1^{2}=1,\quad 1^{2}=1.
  • Somando: \langle b_{2},b_{2}\rangle = 36+1+16+1+1 = 55.

Passo 5

Aplicar a fórmula para x_{2}.
  • Pelo Passo 2: x_{2} = \frac{\langle \vec{v},b_{2}\rangle}{\langle b_{2},b_{2}\rangle}.
  • Substituindo os valores encontrados: x_{2} = \frac{-165}{55}.

Resposta

(B) -3

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