Q16. Um jogador de golfe dá três tacadas para colocar sua bola num buraco. A primeira tacada desloca a bola 4,0 \mathrm{~m} para o norte; a segunda 2,0 \mathrm{~m} para o sudeste e a terceira, 1,0 \mathrm{~m} para sudoeste. Qual seria o deslocamento necessário para colocar a bola no buraco com a primeira tacada? \mathbf{R} : 2 m para nordeste a 69^{\circ} com o leste-oeste ou \vec{r}=(0,71 \hat{\mathrm{i}}+1,88 \hat{\mathrm{j}}) \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado nos dá três deslocamentos vetoriais num plano horizontal e pede o deslocamento único que levaria a bola do ponto de partida ao buraco (ou seja, o vetor resultante da soma dos três deslocamentos). O conteúdo é soma de vetores usando componentes cartesianas. Vamos escolher o eixo x apontando para leste e o eixo y apontando para norte.

Passo 2

Decompomos a primeira tacada, que é de \,4{,}0\\ \mathrm{m} para o norte. Nesse sistema de coordenadas, ela não tem componente em x e tem componente em y:
\vec{r}_1 = (0)\,\hat{\mathrm{i}} + (4{,}0)\,\hat{\mathrm{j}}\quad\mathrm{m}.

Passo 3

A segunda tacada é de \,2{,}0\\ \mathrm{m} para sudeste, ou seja, 45^\circ abaixo do eixo x positivo. Suas componentes são
r_{2x} = 2{,}0\cos45^\circ = 2{,}0\frac{\sqrt2}{2} = 1{,}414\quad r_{2y} = -\,2{,}0\sin45^\circ = -\,1{,}414,
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\vec{r}_2 = (1{,}414)\,\hat{\mathrm{i}} + (-1{,}414)\,\hat{\mathrm{j}}\quad\mathrm{m}.

Passo 4

A terceira tacada é de \,1{,}0\\ \mathrm{m} para sudoeste, ou seja, 45^\circ abaixo do eixo x negativo. Suas componentes são
r_{3x} = -\,1{,}0\cos45^\circ = -\,0{,}707\quad r_{3y} = -\,1{,}0\sin45^\circ = -\,0{,}707,
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\vec{r}_3 = (-0{,}707)\,\hat{\mathrm{i}} + (-0{,}707)\,\hat{\mathrm{j}}\quad\mathrm{m}.

Passo 5

Somamos as três componentes em cada direção:
R_x = 0 + 1{,}414 + (-0{,}707) = 0{,}707,\quad R_y = 4{,}0 + (-1{,}414) + (-0{,}707) = 1{,}879.
Portanto o vetor resultante é
\vec{R} = (0{,}707)\,\hat{\mathrm{i}} + (1{,}879)\,\hat{\mathrm{j}}\quad\mathrm{m}.

Passo 6

O módulo de \vec{R}$ e seu ângulo \(\theta com o eixo x são
R = \sqrt{(0{,}707)^2 + (1{,}879)^2} \approx 2{,}00\\ \mathrm{m},\quad \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{1{,}879}{0{,}707}\bigr)\approx 69^\circ.
Isso significa que, para colocar a bola no buraco com uma única tacada, seria preciso um deslocamento de 2{,}00\\ \mathrm{m} para nordeste, formando 69^\circ acima do leste.)

Resposta

\displaystyle \vec{R} = (0{,}71\,\hat{\mathrm{i}} + 1{,}88\,\hat{\mathrm{j}})\,\mathrm{m}, isto é, 2{,}0\\ \mathrm{m} para nordeste a 69^\circ acima do leste.

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