Q20. Uma bola é arremessada verticalmente para cima do topo de uma torre de 18 m de altura, com velocidade de 12 \mathrm{m} / \mathrm{s}. Supondo aceleração da gravidade no local igual a 10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} determine:(a) a velocidade e a altura da bola acima do solo para qualquer instante de tempo,(b) a altura máxima alcançada pela bola,(c) o tempo e o vetor velocidade da bola quando esta atingir o solo. \mathbf{R} : v(t)=12-10 t, z(t)=18+12 t-5 t^{2} ; 7,2 \mathrm{~m} ; 3,5 s e 23 \mathrm{~ms}^{-1} para baixo.

Passo 1

O enunciado trata de um movimento vertical com aceleração constante (gravidade). A bola parte do ponto inicial a 18 m do solo, com velocidade inicial para cima de 12, \mathrm{m/s} e aceleração -10, \mathrm{m/s^2}. Vamos usar as fórmulas de cinemática:
a(t)= aceleração constante =-10, \mathrm{m/s^2}.
– Integrando, obtemos v(t) e z(t), sendo z a altura acima do solo.

Passo 2

Como a(t)=-10, integramos para achar a velocidade:
v(t)=v_0 + \int_0^t a\,dt = 12 -10\,t.
Em seguida integramos v(t) para achar a posição z(t), sabendo que em t=0, z(0)=18:
z(t)=18 + \int_0^t (12-10\,t')\,dt' =18 + 12\,t -5\,t^2.

Passo 3

A altura máxima ocorre quando v(t)=0. Resolviendo
12 -10\,t_{\max}=0 \quad\Longrightarrow\quad t_{\max}=1{,}2\\ \mathrm{s}.
Substituindo em z(t):
z_{\max}=18 +12\cdot1{,}2 -5\,(1{,}2)^2 =18 +14{,}4 -7{,}2 =25{,}2\\ \mathrm{m}.
Se quisermos a altura em relação ao ponto de lançamento, basta subtrair 18, dando 7{,}2,m acima do topo da torre.

Passo 4

Para achar o instante em que a bola atinge o solo, fazemos z(t)=0:
18 +12\,t -5\,t^2=0 \quad\Longrightarrow\quad 5\,t^2 -12\,t -18=0.
Resolvendo a equação quadrática, obtemos a única raiz positiva
t_{\text{queda}}\approx3{,}45\\ \mathrm{s}.

Passo 5

A velocidade nesse instante é
v(3{,}45)=12 -10\cdot3{,}45\approx -22{,}5\\ \mathrm{m/s},
ou seja, aproximadamente 23, \mathrm{m/s} para baixo.

Resposta

v(t)=12-10\,t,\quad z(t)=18+12\,t-5\,t^2
Altura máxima relativa ao topo da torre: 7{,}2,m (logo 25{,}2,m acima do solo)
Tempo de queda: 3{,}5,s
Velocidade ao atingir o solo: 23, \mathrm{m/s} para baixo.

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