Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LI, então
pode ser LD.
II - Se
é base, então
é LI.
III - Se
são coplanares, então
pode ser LI.
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas III é verdadeira.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas II e III são verdadeiras.
A dimensão de
é:
(A) 9
(B) 6
(C) 4
(D) 8
(E) 10
(F) 7
(G) 2
(H) 3
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas III é verdadeira.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas II e III são verdadeiras.
(A) 9
(B) 6
(C) 4
(D) 8
(E) 10
(F) 7
(G) 2
(H) 3
Passo 1
O enunciado dá um conjunto
e define os subconjuntos
Pede-se decidir a verdade das afirmações I–III relacionadas à independência linear (LI), dependência linear (LD) e base, e depois determinar a dimensão de
. O conteúdo é Álgebra Linear: LI, LD, base e dimensão de um espaço vetorial ou de um conjunto gerador.
Passo 2
Análise de I: “Se
é LI, então
pode ser LD.”
Uma propriedade fundamental é que toda parte de um conjunto LI também é LI. Logo, se é LI, então obrigatoriamente
é LI e não pode ser LD.
Portanto I é falsa.
Uma propriedade fundamental é que toda parte de um conjunto LI também é LI. Logo, se
Portanto I é falsa.
Passo 3
Análise de II: “Se
é base, então
é LI.”
Por definição, base de significa que
é LI e gera
. Como
é LI, todo subconjunto (em particular
) também é LI.
Portanto II é verdadeira.
Por definição, base de
Portanto II é verdadeira.
Passo 4
Análise de III: “Se
são coplanares, então
pode ser LI.”
Três vetores coplanares de estão contidos num plano; mas três vetores num mesmo plano em
são sempre LD. Logo,
não pode ser LI se eles são coplanares.
Portanto III é falsa.
Três vetores coplanares de
Portanto III é falsa.
Passo 5
Das avaliações: I falsa, II verdadeira, III falsa. Logo, apenas II é verdadeira, que corresponde à alternativa (E).
Passo 6
A dimensão de
(ou seja, a dimensão do subespaço gerado por
, que atinge no máximo 3 em
) coincide com o número máximo de vetores LI em
. Como
pode ser ou não LI, mas em geral tratamos dimensão de um conjunto de 3 vetores em
como até 3, e a única opção consistente é 3, correspondente à alternativa (H).
Resposta
(E) Apenas II é verdadeira.
(H) 3
(H) 3