Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LD, então
tem infinitas solução.
II - Se
é LI, então
não tem solução.
III - Se
é LI, então
pode ter infinitas soluções.
A) Apenas II e III são verdadeiras.
B) Apenas I e II são verdadeiras.
C) Apenas I e III são verdadeiras.
D) Apenas I é verdadeira.
E) Apenas II é verdadeira.
F) Todas são verdadeiras.
G) Todas são falsas.
H) Apenas III é verdadeira.
I - Se
II - Se
III - Se
A) Apenas II e III são verdadeiras.
B) Apenas I e II são verdadeiras.
C) Apenas I e III são verdadeiras.
D) Apenas I é verdadeira.
E) Apenas II é verdadeira.
F) Todas são verdadeiras.
G) Todas são falsas.
H) Apenas III é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá três vetores
e dois sistemas lineares:
O conteúdo aqui envolve noções de dependência linear (LD), independência linear (LI) e existência/infinitude de soluções de sistemas homogêneos e não homogêneos.
Passo 2
Analisando a afirmativa I: “Se
é LD, então
tem infinitas soluções.”
Se é LD, há coeficientes não todos nulos com
Se
Isso não garante que
esteja no span
. Mesmo quando
estiver, pode ocorrer que
sejam LI, dando solução única. Ou nem pertencer ao span, dando nenhuma solução. Logo I é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmativa II: “Se
é LI, então
não tem solução.”
Se é LI, nenhum vetor de
pertence ao span dos outros dois. Em particular
. Logo o sistema
Se
não tem solução. Assim II é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmativa III: “Se
é LI, então
pode ter infinitas soluções.”
Quando é LI, o sistema homogêneo
Quando
tem apenas a solução trivial
. Não há infinitas soluções. Logo III é falsa.
Passo 5
Concluindo, apenas a afirmativa II é verdadeira.
Resposta
E) Apenas II é verdadeira.