Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{7} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
II - Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
III - Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.
A) Apenas II e III são verdadeiras.
B) Apenas I e II são verdadeiras.
C) Apenas I e III são verdadeiras.
D) Apenas I é verdadeira.
E) Apenas II é verdadeira.
F) Todas são verdadeiras.
G) Todas são falsas.
H) Apenas III é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá três vetores \beta=\{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\}\subset\mathbb R^7 e dois sistemas lineares:
S_{1}:\;x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}+x_{3}\vec v_{3}=\overrightarrow{0},
S_{2}:\;x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}=\vec v_{3}.
O conteúdo aqui envolve noções de dependência linear (LD), independência linear (LI) e existência/infinitude de soluções de sistemas homogêneos e não homogêneos.

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas soluções.”
Se \beta é LD, há coeficientes não todos nulos com
a\vec v_{1}+b\vec v_{2}+c\vec v_{3}=\overrightarrow0.
Isso não garante que \vec v_{3} esteja no span \{\vec v_{1},\vec v_{2}\}. Mesmo quando \vec v_{3} estiver, pode ocorrer que \vec v_{1},\vec v_{2} sejam LI, dando solução única. Ou nem pertencer ao span, dando nenhuma solução. Logo I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: “Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.”
Se \beta é LI, nenhum vetor de \{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\} pertence ao span dos outros dois. Em particular \vec v_{3}\notin\mathrm{span}\{\vec v_{1},\vec v_{2}\}. Logo o sistema
x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}=\vec v_{3}
não tem solução. Assim II é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmativa III: “Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.”
Quando \beta é LI, o sistema homogêneo
x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}+x_{3}\vec v_{3}=\overrightarrow0
tem apenas a solução trivial x_{1}=x_{2}=x_{3}=0. Não há infinitas soluções. Logo III é falsa.

Passo 5

Concluindo, apenas a afirmativa II é verdadeira.

Resposta

E) Apenas II é verdadeira.

Exercícios relacionados