Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se S é LD, então A é LD ou B é LD ou C é LD.
II - Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} não são coplanares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
III - Se A, B e C são todos LIs, então S é LI.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Apenas II e III são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá três vetores \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3} em \mathbb{R}^{3} e define os subconjuntos A=\{\vec v_{1},\vec v_{2}\}, B=\{\vec v_{1},\vec v_{3}\}, C=\{\vec v_{2},\vec v_{3}\}. Queremos analisar as afirmações sobre dependência linear (LD) e independência linear (LI) em \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Analisando I – “Se S é LD, então A é LD ou B é LD ou C é LD.” Considere o exemplo \vec v_{1}=(1,0,0), \vec v_{2}=(0,1,0), \vec v_{3}=(1,1,0).
Aqui
\vec v_{3} = \vec v_{1} + \vec v_{2},
logo S é LD. Mas cada par é LI, pois nenhum vetor é múltiplo escalar do outro. Logo nenhum de A,B,C é LD, contradizendo I. Assim, I é falsa.

Passo 3

Analisando II – “Se \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3} não são coplanares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.”
Não coplanares significa que não existe um plano que contenha todos os três vetores, o que implica que eles são LI e, em \mathbb{R}^{3}, qualquer conjunto de três vetores LI gera todo o espaço. Portanto S tem dimensão 3 e é base de \mathbb{R}^{3}. Assim, II é verdadeira.

Passo 4

Analisando III – “Se A, B e C são todos LIs, então S é LI.”
Usamos de novo o exemplo \vec v_{1}=(1,0,0), \vec v_{2}=(0,1,0), \vec v_{3}=(1,1,0).
Aqui A,B,C são LI, mas S é LD (pois \vec v_{3}=\vec v_{1}+\vec v_{2}). Logo III é falsa.

Resposta

(H) Apenas II é verdadeira.

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