Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LD, então
é LD ou
é LD ou
é LD.
II - Se
não são coplanares, então
é uma base de
.
III - Se
e
são todos LIs, então
é LI.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Apenas II e III são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas II é verdadeira.
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Apenas II e III são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá três vetores
em
e define os subconjuntos
,
,
. Queremos analisar as afirmações sobre dependência linear (LD) e independência linear (LI) em
.
Passo 2
Analisando I – “Se
é LD, então
é LD ou
é LD ou
é LD.” Considere o exemplo
,
,
.
Aqui
Aqui
logo
é LD. Mas cada par é LI, pois nenhum vetor é múltiplo escalar do outro. Logo nenhum de
é LD, contradizendo I. Assim, I é falsa.
Passo 3
Analisando II – “Se
não são coplanares, então
é uma base de
.”
Não coplanares significa que não existe um plano que contenha todos os três vetores, o que implica que eles são LI e, em , qualquer conjunto de três vetores LI gera todo o espaço. Portanto
tem dimensão 3 e é base de
. Assim, II é verdadeira.
Não coplanares significa que não existe um plano que contenha todos os três vetores, o que implica que eles são LI e, em
Passo 4
Analisando III – “Se
e
são todos LIs, então
é LI.”
Usamos de novo o exemplo ,
,
.
Aqui são LI, mas
é LD (pois
). Logo III é falsa.
Usamos de novo o exemplo
Aqui
Resposta
(H) Apenas II é verdadeira.