Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
I - Nenhum subconjunto de
com 6 vetores é uma base de
.
II - Nenhum subconjunto de
com 4 vetores gera
.
III - Todo subconjunto LI de
possui no máximo 5 vetores.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas II é verdadeira.
I - Nenhum subconjunto de
II - Nenhum subconjunto de
III - Todo subconjunto LI de
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas III é verdadeira.
(H) Apenas II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão 5 e pede para avaliar três afirmativas sobre tamanhos de subconjuntos de
:
- I. Conjuntos de 6 vetores não podem ser base.
- II. Conjuntos de 4 vetores não geram
. - III. Todo conjunto linearmente independente (LI) tem no máximo 5 vetores.
Para resolver usamos o fato fundamental da dimensão: num espaço de dimensão,
- qualquer conjunto com mais de
vetores é linearmente dependente (LD), - qualquer base tem exatamente
vetores, - qualquer conjunto gerador tem pelo menos
vetores, - qualquer conjunto LI tem no máximo
vetores.
Passo 2
Analisando I: “Nenhum subconjunto de
com 6 vetores é uma base de
.”
Como , todo conjunto de 6 vetores em
é LD e portanto não pode ser base (que exige LI). Logo, I é verdadeira.
Como
Passo 3
Analisando II: “Nenhum subconjunto de
com 4 vetores gera
.”
Como um conjunto gerador de deve ter pelo menos
vetores, um conjunto com apenas 4 vetores não consegue gerar todo
. Logo, II é verdadeira.
Como um conjunto gerador de
Passo 4
Analisando III: “Todo subconjunto LI de
possui no máximo 5 vetores.”
Pelo teorema da dimensão, qualquer conjunto linearmente independente em não pode ultrapassar
vetores. Logo, III é verdadeira.
Pelo teorema da dimensão, qualquer conjunto linearmente independente em
Resposta
(B) Todas são verdadeiras.