Q15: Seja p(x)=7+3 x-13 x^{2} e
\beta=\left\{1+x-x^{2}, \quad 3+2 x-4 x^{2}, \quad-2+x+7 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 . Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -3
(B) -4
(C) -2
(D) 2
(E) -1
(F) 3
(G) 4
(H) 1

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=7+3x-13x^2
e a base \beta do espaço \mathcal P_2:
\beta=\bigl\{\,1+x-x^2,\;3+2x-4x^2,\;-2+x+7x^2\bigr\}.
Queremos escrever p como combinação linear dessas três funções e achar a terceira coordenada c em \bigl[p\bigr]_\beta=(a,b,c).

Passo 2

Escrevemos
a\,(1+x-x^2)\;+\;b\,(3+2x-4x^2)\;+\;c\,(-2+x+7x^2)\;=\;7+3x-13x^2.
Comparando coeficientes de 1, x e x^2, obtemos o sistema
\begin{cases} a +3b -2c =7,\\\ a +2b +\,c =3,\\\\ -\,a -4b +7c =-13. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação isolamos
a = 3 -2b -c.
Substituindo em a+3b -2c=7
(3-2b-c)+3b-2c=7 \quad\Longrightarrow\quad b-3c=4 \quad\Longrightarrow\quad b=4+3c.
Logo
a = 3-2(4+3c)-c = -5 -7c.

Passo 4

Agora usamos a terceira equação -a -4b +7c=-13. Substituindo a=-5-7c e b=4+3c,
-(-5-7c)-4(4+3c)+7c=-13 \quad\Longrightarrow\quad 5+7c-16-12c+7c=-13 \quad\Longrightarrow\quad -11+2c=-13 \quad\Longrightarrow\quad 2c=-2 \quad\Longrightarrow\quad c=-1.

Resposta

-1 (alternativa E)

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