Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só I e III são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
I) Se A e B são LIs, então C é LI.
II) Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} são coplanares, então S pode ser LI.
III) Se A é LD, então S não pode ser LI.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dado o conjunto S=\left\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\right\} de vetores distintos em \mathbb{R}^{3}.
  • Definiram-se os subconjuntos
    • A=\left\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\right\},
    • B=\left\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\right\},
    • C=\left\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\right\}.
  • As três afirmações a analisar são:
    • I) Se A e B são LI, então C é LI.
    • II) Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são coplanares, então S pode ser LI.
    • III) Se A é LD, então S não pode ser LI.
O objetivo é determinar quais dessas três afirmações são verdadeiras e, com base nisso, escolher a alternativa correta entre as fornecidas.

Passo 2

Relembrando conceitos fundamentais (vai ajudar muito na prova):
  • Uma coleção de vetores é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes zero). Em símbolos: um conjunto \{\vec{w}_1,\dots,\vec{w}_k\} é LI se a_1\vec{w}_1+\cdots+a_k\vec{w}_k=\vec{0}\quad\Rightarrow\quad a_1=\cdots=a_k=0.
  • Se existir uma combinação linear não trivial que dá \vec{0}, o conjunto é linearmente dependente (LD).
  • Para dois vetores \vec{u},\vec{v} em \mathbb{R}^3: eles são LD exatamente quando um é múltiplo escalar do outro. Caso contrário são LI.
  • Em \mathbb{R}^3 a dimensão máxima é 3. Qualquer subespaço plano (dimensão 2) só admite no máximo 2 vetores LI. Isso é importante para falar de vetores coplanares.
  • Uma propriedade útil: se um conjunto é LI, então toda subcoleção dele também é LI. Como contraposso: se existir uma subcoleção LD, o conjunto todo é LD.

Passo 3

Afirmação I: “Se A e B são LI, então C é LI.”
  • Interpretação: A LI significa que \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} não são múltiplos um do outro. B LI significa que \vec{v}_{1} e \vec{v}_{3} não são múltiplos um do outro. A afirmação diz que então \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3} também não seriam múltiplos (ou seja, C LI).
  • Vamos ver com um contraexemplo numérico simples — contraexemplo derruba afirmação universal:
    • Tome \vec{v}_{1}=(1,0,0).
    • Tome \vec{v}_{2}=(0,1,0).
    • Tome \vec{v}_{3}=(0,2,0).
  • Verificações:
    • A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} é LI, pois \vec{v}_{1} não é múltiplo de \vec{v}_{2}.
    • B=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\} é LI, pois \vec{v}_{3} não é múltiplo de \vec{v}_{1}.
    • Mas C=\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é LD, porque \vec{v}_{3}=2\vec{v}_{2}.
  • Conclusão: existe um caso em que A e B são LI e C é LD; portanto a afirmação I é falsa.

Passo 4

Afirmação II: “Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são coplanares, então S pode ser LI.”
  • Primeiro, esclarecer o sentido que usamos aqui para “coplanares”: vetores coplanares no contexto de espaços vetoriais costuma significar que os três pertencem a uma mesma superfície plana que passa pela origem — isto é, pertencem a um subespaço de dimensão 2 (um plano linear). Esse é o sentido usado em Álgebra Linear quando se fala em vetores coplanares e relação com independência linear.
  • Se os três vetores pertencem a um plano que é subespaço (dimensão 2), então qualquer combinação linear deles também está nesse plano e a dimensão do espaço gerado por eles é no máximo 2. Isso implica que três vetores nesse plano não podem ser linearmente independentes — pelo menos um será combinação dos outros dois.
  • Exemplo concreto: \vec{v}_{1}=(1,0,0), \vec{v}_{2}=(0,1,0), \vec{v}_{3}=(1,1,0). Todos estão no plano z=0 (que passa pela origem). Note que \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}, então \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é LD.
  • Portanto, sob a interpretação usual (plano que é subespaço passando pela origem), três vetores coplanares em \mathbb{R}^{3} não podem ser LI. Logo a afirmação “então S pode ser LI” é falsa.
  • Observação sobre ambiguidade: se alguém interpretar “coplanares” como “os pontos finais dos vetores estão em um mesmo plano afim que não necessariamente passa pela origem”, aí existe a possibilidade de ter três vetores cujos pontos finais estão em um plano afim e que, como vetores a partir da origem, sejam LI (ex.: (1,0,1),(0,1,1),(0,0,1) estão todos no plano afim z=1 e são LI). Mas no contexto padrão de vetores em Álgebra Linear (e numa prova de vetores em \mathbb{R}^3) a interpretação correta é plano passando pela origem, e com essa interpretação a afirmação II é falsa. Vou adotar aqui a interpretação padrão de Álgebra Linear, portanto II é falsa.

Passo 5

Afirmação III: “Se A é LD, então S não pode ser LI.”
  • A LD significa que \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são linearmente dependentes, ou seja, um é múltiplo escalar do outro: \vec{v}_{1} = \lambda \vec{v}_{2}\quad\text{para algum }\lambda\in\mathbb{R}.
  • Propriedade geral: se um conjunto contém um subconjunto que é LD, então o conjunto todo é LD. Em outras palavras, independência linear exige que todas as suas subcoleções também sejam independentes. Portanto, se A já é LD, qualquer conjunto que contenha A, como S, será também LD.
  • Em termos práticos: tendo \vec{v}_{1}=\lambda\vec{v}_{2}, já existe uma combinação linear não trivial \vec{v}_{1}-\lambda\vec{v}_{2}=\vec{0},e essa combinação continua válida quando se adiciona \vec{v}_{3} ao conjunto — logo S é LD e não pode ser LI.
  • Conclusão: a afirmação III é verdadeira.

Passo 6

  • I é falsa (contraprova com exemplo).
  • II é falsa (pelo argumento de dimensão do plano subespaço em \mathbb{R}^3).
  • III é verdadeira (porque um subconjunto LD implica conjunto total LD).
Portanto somente a afirmação III é verdadeira.

Resposta

F

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