Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só I e III são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
I) Se
e
são LIs, então
é LI.
II) Se
são coplanares, então
pode ser LI.
III) Se
é LD, então
não pode ser LI.
(A) Todas são falsas.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só I e III são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
I) Se
II) Se
III) Se
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Foi dado o conjunto
de vetores distintos em . - Definiram-se os subconjuntos
-
, -
, -
.
-
- As três afirmações a analisar são:
- I) Se
e são LI, então é LI. - II) Se
são coplanares, então pode ser LI. - III) Se
é LD, então não pode ser LI.
- I) Se
O objetivo é determinar quais dessas três afirmações são verdadeiras e, com base nisso, escolher a alternativa correta entre as fornecidas.
Passo 2
Relembrando conceitos fundamentais (vai ajudar muito na prova):
- Uma coleção de vetores é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes zero). Em símbolos: um conjunto
é LI se - Se existir uma combinação linear não trivial que dá
, o conjunto é linearmente dependente (LD). - Para dois vetores
em : eles são LD exatamente quando um é múltiplo escalar do outro. Caso contrário são LI. - Em
a dimensão máxima é . Qualquer subespaço plano (dimensão ) só admite no máximo vetores LI. Isso é importante para falar de vetores coplanares. - Uma propriedade útil: se um conjunto é LI, então toda subcoleção dele também é LI. Como contraposso: se existir uma subcoleção LD, o conjunto todo é LD.
Passo 3
Afirmação I: “Se
e
são LI, então
é LI.”
- Interpretação:
LI significa que e não são múltiplos um do outro. LI significa que e não são múltiplos um do outro. A afirmação diz que então e também não seriam múltiplos (ou seja, LI). - Vamos ver com um contraexemplo numérico simples — contraexemplo derruba afirmação universal:
- Tome
. - Tome
. - Tome
.
- Tome
- Verificações:
-
é LI, pois não é múltiplo de . -
é LI, pois não é múltiplo de . - Mas
é LD, porque .
-
- Conclusão: existe um caso em que
e são LI e é LD; portanto a afirmação I é falsa.
Passo 4
Afirmação II: “Se
são coplanares, então
pode ser LI.”
- Primeiro, esclarecer o sentido que usamos aqui para “coplanares”: vetores coplanares no contexto de espaços vetoriais costuma significar que os três pertencem a uma mesma superfície plana que passa pela origem — isto é, pertencem a um subespaço de dimensão
(um plano linear). Esse é o sentido usado em Álgebra Linear quando se fala em vetores coplanares e relação com independência linear. - Se os três vetores pertencem a um plano que é subespaço (dimensão
), então qualquer combinação linear deles também está nesse plano e a dimensão do espaço gerado por eles é no máximo . Isso implica que três vetores nesse plano não podem ser linearmente independentes — pelo menos um será combinação dos outros dois. - Exemplo concreto:
, , . Todos estão no plano (que passa pela origem). Note que , então é LD. - Portanto, sob a interpretação usual (plano que é subespaço passando pela origem), três vetores coplanares em
não podem ser LI. Logo a afirmação “então pode ser LI” é falsa. - Observação sobre ambiguidade: se alguém interpretar “coplanares” como “os pontos finais dos vetores estão em um mesmo plano afim que não necessariamente passa pela origem”, aí existe a possibilidade de ter três vetores cujos pontos finais estão em um plano afim e que, como vetores a partir da origem, sejam LI (ex.:
estão todos no plano afim e são LI). Mas no contexto padrão de vetores em Álgebra Linear (e numa prova de vetores em ) a interpretação correta é plano passando pela origem, e com essa interpretação a afirmação II é falsa. Vou adotar aqui a interpretação padrão de Álgebra Linear, portanto II é falsa.
Passo 5
Afirmação III: “Se
é LD, então
não pode ser LI.”
-
LD significa que e são linearmente dependentes, ou seja, um é múltiplo escalar do outro: - Propriedade geral: se um conjunto contém um subconjunto que é LD, então o conjunto todo é LD. Em outras palavras, independência linear exige que todas as suas subcoleções também sejam independentes. Portanto, se
já é LD, qualquer conjunto que contenha , como , será também LD. - Em termos práticos: tendo
, já existe uma combinação linear não trivial e essa combinação continua válida quando se adiciona ao conjunto — logo é LD e não pode ser LI. - Conclusão: a afirmação III é verdadeira.
Passo 6
- I é falsa (contraprova com exemplo).
- II é falsa (pelo argumento de dimensão do plano subespaço em
). - III é verdadeira (porque um subconjunto LD implica conjunto total LD).
Portanto somente a afirmação III é verdadeira.
Resposta
F