Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só I e II são verdadeiras.
I. Nenhum subconjunto de
com 6 vetores é uma base de
.
II. Existe um subconjunto de
com 4 vetores que é LI e não gera
.
III. Todo subconjunto de
com 6 vetores é LD.
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só I e II são verdadeiras.
I. Nenhum subconjunto de
II. Existe um subconjunto de
III. Todo subconjunto de
Passo 1
O enunciado dá que
é um espaço vetorial com
. Pede-se avaliar a veracidade das três afirmativas I, II e III abaixo e escolher a alternativa correta entre as opções listadas.
As afirmativas são:
I. Nenhum subconjunto de com
vetores é uma base de
.
II. Existe um subconjunto de com
vetores que é linearmente independente (LI) e não gera
.
III. Todo subconjunto de com
vetores é linearmente dependente (LD).
I. Nenhum subconjunto de
II. Existe um subconjunto de
III. Todo subconjunto de
O objetivo é decidir, com justificativa, quais das afirmativas são verdadeiras.
Passo 2
Definições e ideias essenciais (explicadas devagar para garantir que fique claro).
-
Base: um subconjunto
é uma base de se é linearmente independente e gera . Ou seja, todo vetor de pode ser escrito como combinação linear de elementos de , e não há combinação linear não trivial que dê zero entre vetores de . -
Dimensão:
é o número de vetores de qualquer base de . Aqui foi dado que , então toda base de tem exatamente vetores. -
Linearmente independente (LI): um conjunto
é LI se a única solução do sistema é . -
Linearmente dependente (LD): não LI; existe uma combinação não-trivial que dá zero.
-
Gerar (span): um conjunto gera
se seu espaço gerado (todas as combinações lineares) é todo .
Essas definições já sugerem relações importantes: em um espaço de dimensão
, qualquer base tem exatamente
vetores; qualquer conjunto LI com
vetores é base; e conjuntos com mais de
vetores costumam ser LD. Nas próximas etapas vou provar/usar essas relações com calma.
Passo 3
Teorema chave (com explicação): em um espaço vetorial de dimensão
, qualquer conjunto com mais de
vetores é linearmente dependente.
Por quê? Duas maneiras intuitivas de ver:
-
Intuição por coordenadas: escolha uma base de
com vetores. Cada vetor de corresponde a um vetor de coordenadas em . Ter mais de vetores em significa ter mais colunas do que linhas numa matriz cujas colunas são essas coordenadas; por causa das propriedades de sistemas lineares, essas colunas são linearmente dependentes (há solução não trivial para a combinação que dá zero). Logo os vetores originais também são dependentes. -
Prova elementar por aumento: pegue vetores
. Se , então é LI. Agora tente adicionar . Se for LI continua; repita. Mas não se pode formar um conjunto LI com mais do que vetores porque isso implicaria a existência de uma base com mais de vetores, contradizendo . Portanto, ao adicionar vetores, em algum momento aparece dependência — e isso ocorre assim que o número de vetores excede .
Exemplo simples para fixar: em
(
), qualquer conjunto com
vetores é LD — porque no plano qualquer três vetores ficam em pelo menos um conjunto de três colunas em uma matriz
, e essas colunas são dependentes.
Passo 4
Aplicação ao item III: como
e
, pelo teorema acima todo subconjunto de
com
vetores é necessariamente linearmente dependente. Logo a afirmativa III é verdadeira.
Passo 5
Aplicação ao item I: uma base de
tem exatamente
vetores. Portanto qualquer subconjunto com
vetores não pode ser uma base (uma base não pode ter mais do que
vetores). Outra maneira rápida de ver: pelo passo anterior, qualquer conjunto com
vetores é LD; uma base precisa ser LI, então nenhum conjunto com
vetores pode ser base. Logo a afirmativa I é verdadeira.
Passo 6
Aplicação ao item II: a afirmativa diz que existe um subconjunto com
vetores que é LI e não gera
.
-
Primeiro, se um conjunto tem
vetores LI, então o espaço gerado por ele tem dimensão (pois os vetores LI formam uma base do subespaço que geram). Mas , então esse subespaço de dimensão não pode ser todo . Logo qualquer conjunto LI com vetores não gera . Assim a segunda parte ("não gera ") é automática para qualquer conjunto LI de vetores. -
Resta mostrar que existe ao menos um conjunto LI com
vetores. Isso é fácil: escolha uma base de (sabemos que existe). Então o subconjunto tem vetores, é linearmente independente (são parte de uma base) e não gera (pois falta para gerar). Portanto tal conjunto existe.
Logo a afirmativa II é verdadeira.
Passo 7
Sumarizando: I é verdadeira, II é verdadeira e III é verdadeira. Todas as três afirmativas são verdadeiras.
Portanto a alternativa correta é a que afirma “Todas são verdadeiras”.
Resposta
(D)