Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só I e II são verdadeiras.
I. Nenhum subconjunto de V com 6 vetores é uma base de V.
II. Existe um subconjunto de V com 4 vetores que é LI e não gera V.
III. Todo subconjunto de V com 6 vetores é LD.

Passo 1

O enunciado dá que V é um espaço vetorial com \dim V = 5. Pede-se avaliar a veracidade das três afirmativas I, II e III abaixo e escolher a alternativa correta entre as opções listadas.
As afirmativas são:
I. Nenhum subconjunto de V com 6 vetores é uma base de V.
II. Existe um subconjunto de V com 4 vetores que é linearmente independente (LI) e não gera V.
III. Todo subconjunto de V com 6 vetores é linearmente dependente (LD).
O objetivo é decidir, com justificativa, quais das afirmativas são verdadeiras.

Passo 2

Definições e ideias essenciais (explicadas devagar para garantir que fique claro).
  • Base: um subconjunto B\subset V é uma base de V se B é linearmente independente e gera V. Ou seja, todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear de elementos de B, e não há combinação linear não trivial que dê zero entre vetores de B.
  • Dimensão: \dim V é o número de vetores de qualquer base de V. Aqui foi dado que \dim V = 5, então toda base de V tem exatamente 5 vetores.
  • Linearmente independente (LI): um conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é LI se a única solução do sistema \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k = 0 é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0.
  • Linearmente dependente (LD): não LI; existe uma combinação não-trivial que dá zero.
  • Gerar (span): um conjunto gera V se seu espaço gerado (todas as combinações lineares) é todo V.
Essas definições já sugerem relações importantes: em um espaço de dimensão n, qualquer base tem exatamente n vetores; qualquer conjunto LI com n vetores é base; e conjuntos com mais de n vetores costumam ser LD. Nas próximas etapas vou provar/usar essas relações com calma.

Passo 3

Teorema chave (com explicação): em um espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto com mais de n vetores é linearmente dependente.
Por quê? Duas maneiras intuitivas de ver:
  • Intuição por coordenadas: escolha uma base de V com n vetores. Cada vetor de V corresponde a um vetor de coordenadas em \mathbb{R}^n. Ter mais de n vetores em \mathbb{R}^n significa ter mais colunas do que linhas numa matriz cujas colunas são essas coordenadas; por causa das propriedades de sistemas lineares, essas colunas são linearmente dependentes (há solução não trivial para a combinação que dá zero). Logo os vetores originais também são dependentes.
  • Prova elementar por aumento: pegue vetores v_1,\dots,v_{n+1}. Se v_1\neq 0, então \{v_1\} é LI. Agora tente adicionar v_2. Se \{v_1,v_2\} for LI continua; repita. Mas não se pode formar um conjunto LI com mais do que n vetores porque isso implicaria a existência de uma base com mais de n vetores, contradizendo \dim V=n. Portanto, ao adicionar vetores, em algum momento aparece dependência — e isso ocorre assim que o número de vetores excede n.
Exemplo simples para fixar: em \mathbb{R}^2 ( \dim=2), qualquer conjunto com 3 vetores é LD — porque no plano qualquer três vetores ficam em pelo menos um conjunto de três colunas em uma matriz 2\times3, e essas colunas são dependentes.

Passo 4

Aplicação ao item III: como \dim V = 5 e 6>5, pelo teorema acima todo subconjunto de V com 6 vetores é necessariamente linearmente dependente. Logo a afirmativa III é verdadeira.

Passo 5

Aplicação ao item I: uma base de V tem exatamente \dim V = 5 vetores. Portanto qualquer subconjunto com 6 vetores não pode ser uma base (uma base não pode ter mais do que 5 vetores). Outra maneira rápida de ver: pelo passo anterior, qualquer conjunto com 6 vetores é LD; uma base precisa ser LI, então nenhum conjunto com 6 vetores pode ser base. Logo a afirmativa I é verdadeira.

Passo 6

Aplicação ao item II: a afirmativa diz que existe um subconjunto com 4 vetores que é LI e não gera V.
  • Primeiro, se um conjunto tem 4 vetores LI, então o espaço gerado por ele tem dimensão 4 (pois os vetores LI formam uma base do subespaço que geram). Mas \dim V = 5, então esse subespaço de dimensão 4 não pode ser todo V. Logo qualquer conjunto LI com 4 vetores não gera V. Assim a segunda parte ("não gera V") é automática para qualquer conjunto LI de 4 vetores.
  • Resta mostrar que existe ao menos um conjunto LI com 4 vetores. Isso é fácil: escolha uma base \{e_1,e_2,e_3,e_4,e_5\} de V (sabemos que existe). Então o subconjunto \{e_1,e_2,e_3,e_4\} tem 4 vetores, é linearmente independente (são parte de uma base) e não gera V (pois falta e_5 para gerar). Portanto tal conjunto existe.
Logo a afirmativa II é verdadeira.

Passo 7

Sumarizando: I é verdadeira, II é verdadeira e III é verdadeira. Todas as três afirmativas são verdadeiras.
Portanto a alternativa correta é a que afirma “Todas são verdadeiras”.

Resposta

(D)

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