Q15: Seja p(x)=2-14 x+30 x^{2} e \beta=\left\{2-4 x-2 x^{2}, \quad-1+5 x-5 x^{2}, \quad-1+x+6 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 . Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) 2
(B) -3
(C) 1
(D) -2
(E) 3
(F) -1
(G) -4
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá o polinômio p(x)=2-14 x+30 x^{2}
e a base \beta do espaço dos polinômios de grau até 2:
Pede-se: se [p]_{\beta}=(a,b,c) são as coordenadas de p na base \beta, calcular o valor de c.
Lista das informações relevantes:
O polinômio alvo é p(x)=2-14 x+30 x^{2}.
Os vetores (polinômios) da base sãov_1=2-4x-2x^{2},\quad v_2=-1+5x-5x^{2},\quad v_3=-1+x+6x^{2}.
Queremos a,b,c tais que a v_1 + b v_2 + c v_3 = p, e em particular o valor de c.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática curta): representar p como combinação linear dos vetores da base. Como igualdade de polinômios significa igualdade dos coeficientes de 1, x e x^{2}, basta igualar coeficientes e resolver o sistema linear para a,b,c.
Por que isso funciona? Se dois polinômios de grau ≤2 são iguais para todo x, seus coeficientes em cada potência de x são iguais. Portanto se