Q15: Seja p(x)=2-14 x+30 x^{2} e
\beta=\left\{2-4 x-2 x^{2}, \quad-1+5 x-5 x^{2}, \quad-1+x+6 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 . Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) 2
(B) -3
(C) 1
(D) -2
(E) 3
(F) -1
(G) -4
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=2-14 x+30 x^{2}
e a base \beta do espaço dos polinômios de grau até 2:
\beta=\big\{\,2-4 x-2 x^{2},\quad -1+5 x-5 x^{2},\quad -1+x+6 x^{2}\,\big\}.
Pede-se: se [p]_{\beta}=(a,b,c) são as coordenadas de p na base \beta, calcular o valor de c.
Lista das informações relevantes:
  • O polinômio alvo é p(x)=2-14 x+30 x^{2}.
  • Os vetores (polinômios) da base são v_1=2-4x-2x^{2},\quad v_2=-1+5x-5x^{2},\quad v_3=-1+x+6x^{2}.
  • Queremos a,b,c tais que a v_1 + b v_2 + c v_3 = p, e em particular o valor de c.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática curta): representar p como combinação linear dos vetores da base. Como igualdade de polinômios significa igualdade dos coeficientes de 1, x e x^{2}, basta igualar coeficientes e resolver o sistema linear para a,b,c.
Por que isso funciona? Se dois polinômios de grau ≤2 são iguais para todo x, seus coeficientes em cada potência de x são iguais. Portanto se
a(2-4x-2x^{2})+b(-1+5x-5x^{2})+c(-1+x+6x^{2})=2-14x+30x^{2},
então os coeficientes constantes, de x e de x^{2} devem coincidir.

Passo 3

Escrever a soma e coletar coeficientes. Primeiro escrevo a combinação:
a(2-4x-2x^{2})+b(-1+5x-5x^{2})+c(-1+x+6x^{2}).
Agora coleto os coeficientes de cada potência:
  • Coeficiente do termo constante ( x^{0}): 2a + (-1)b + (-1)c = 2a - b - c.
  • Coeficiente de x: -4a + 5b + c.
  • Coeficiente de x^{2}: -2a -5b +6c.
Como isso deve igualar aos coeficientes de p(x)=2-14x+30x^{2}, obtemos o sistema
\begin{cases} 2a - b - c = 2,\\[4pt] -4a + 5b + c = -14,\\[4pt] -2a -5b +6c = 30. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema por eliminação (vou resolver passo a passo, bem mastigado).
Da primeira equação isolo b:
2a - b - c = 2 \quad\Rightarrow\quad b = 2a - c - 2.
Substituo esse b nas equações 2 e 3.

Passo 5

Substituição na equação 2:
-4a + 5(2a - c - 2) + c = -14.
Calculo termo a termo:
-4a + 10a -5c -10 + c = -14.
Agrupando:
6a -4c -10 = -14.
Isolando termos:
6a -4c = -4.
Dividindo por 2 para simplificar:
3a -2c = -2.
Guardo essa equação (chamo-a de (A)):
\text{(A)}\quad 3a -2c = -2.

Passo 6

Substituição na equação 3:
-2a -5(2a - c - 2) + 6c = 30.
Calculo termo a termo:
-2a -10a +5c +10 +6c = 30.
Agrupando:
-12a +11c +10 = 30.
Isolando:
-12a +11c = 20.
Chamo esta de (B):
\text{(B)}\quad -12a +11c = 20.

Passo 7

Agora resolvo o sistema em a e c formado por (A) e (B). Uma eliminação eficiente: multiplico (A) por 4 para obter coeficiente 12a:
4\cdot(3a -2c = -2)\\ \Rightarrow\\\ 12a -8c = -8.
Somando essa equação com (B):
(-12a +11c) + (12a -8c) = 20 + (-8).
O termo em a cancela, sobrando:
3c = 12.
Logo
c = 4.

Passo 8

(Facultativo: encontrar a e b para ver consistência)
Substituo c=4 em (A):
3a - 2\cdot 4 = -2 \quad\Rightarrow\quad 3a -8 = -2 \quad\Rightarrow\quad 3a = 6 \quad\Rightarrow\quad a = 2.
E então b = 2a - c - 2 = 2\cdot 2 -4 -2 = -2.
Verificação rápida nos coeficientes confirma que a solução é consistente.

Resposta

4

Exercícios relacionados