Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} são coplanares, então S é LD.
II. Se A é LI, então S pode ser LD.
III. Se S é LI, então A pode ser LD.
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só I e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá:
  • S=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} com três vetores distintos em \mathbb{R}^{3}.
  • A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, B=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\}, C=\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}.
O que é pedido: decidir a veracidade das afirmações I, II e III:
I. Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são coplanares, então S é linearmente dependente (LD).
II. Se A é linearmente independente (LI), então S pode ser LD.
III. Se S é LI, então A pode ser LD.

Passo 2

Definições e ideias essenciais (explicadas passo a passo, sem pular nada):
  • Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) se existir uma combinação linear não trivial que dê o vetor zero; isto é, existem escalares, nem todos zero, tais que
\alpha_1\vec{v}_1+\alpha_2\vec{v}_2+\alpha_3\vec{v}_3=\vec{0}.
Se a única solução é \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0, o conjunto é linearmente independente (LI).
  • Em \mathbb{R}^3 a dimensão do espaço é 3. Uma reta tem dimensão 1, um plano tem dimensão 2.
  • Se um conjunto de vetores está contido num subespaço de dimensão d, então qualquer conjunto com mais de d vetores desse subespaço é LD. Intuição: não há “espaço” suficiente para todos serem independentes; formalmente, dimensão do span \le d.
  • Vetores coplanares em \mathbb{R}^3 significam que todos pertencem a um mesmo plano (um subespaço afim de dimensão 2 ou um subespaço vetorial de dimensão \le2 se o plano passar pela origem).

Passo 3

Analisando a afirmação I:
  • Hipótese: \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são coplanares. Então todos estão em um plano (subespaço de dimensão \le 2).
  • Pelo item anterior, um subespaço de dimensão \le 2 não pode conter três vetores linearmente independentes (porque seriam mais do que a dimensão).
  • Logo, os três vetores devem ser LD: existe relação linear não trivial entre eles.
  • Conclusão: a afirmação I é verdadeira.
(Dica prática: na prova, ao ver "três vetores coplanares em \mathbb{R}^3", já pode afirmar que são LD, porque no plano a dimensão máxima é 2.)

Passo 4

Analisando a afirmação II (mostrando que é possível — “pode ser” — e dando exemplo concreto):
  • Hipótese: A=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é LI. Isso significa que \vec{v}_1 e \vec{v}_2 não são múltiplos escalares um do outro.
  • Pergunta: é possível que, mesmo assim, o conjunto S=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} seja LD? Sim, é possível — basta que \vec{v}_3 esteja no plano gerado por \vec{v}_1 e \vec{v}_2 (ou seja, seja combinação linear desses dois).
  • Exemplo explícito e simples (útil para a prova): escolha
\vec{v}_1=(1,0,0),\qquad \vec{v}_2=(0,1,0),\qquad \vec{v}_3=(1,1,0).
Aqui \vec{v}_1 e \vec{v}_2 não são múltiplos um do outro, então A é LI. Mas
\vec{v}_3 - \vec{v}_1 - \vec{v}_2=\vec{0},
ou seja, 1\cdot\vec{v}_3 + (-1)\cdot\vec{v}_1 + (-1)\cdot\vec{v}_2=\vec{0} com coeficientes não todos zero, então S é LD.
  • Portanto a afirmação II é verdadeira: a hipótese A LI não impede que S seja LD — isso pode acontecer.

Passo 5

Analisando a afirmação III (mostrar que é impossível, com prova por contradição simples):
  • Hipótese: S=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é LI. Quer-se saber se A=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} pode ser LD.
  • Prova por contradição: suponha que A seja LD. Então existem escalares a,b, não ambos zero, tais que
a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 = \vec{0}.
  • Então, considerando o conjunto S, temos a combinação linear
a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 + 0\cdot\vec{v}_3 = \vec{0},
onde nem todos os coeficientes são zero (já que a,b nem ambos são zero). Isso mostra que S seria LD — contradição com a hipótese de que S é LI.
  • Portanto A não pode ser LD quando S é LI; ou seja, se S é LI então A necessariamente é LI. Logo a afirmação III, que diz que A pode ser LD, é falsa.
(Resumo de prova útil na prova: qualquer subconjunto de um conjunto LI é LI. Basta usar a ideia acima.)

Passo 6

Resumo final das verdades:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é falsa.

Resposta

(E) Só I e II são verdadeiras.

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