Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
são coplanares, então
é LD.
II. Se
é LI, então
pode ser LD.
III. Se
é LI, então
pode ser LD.
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só I e III são verdadeiras.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só I e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá:
-
com três vetores distintos em . -
, , .
O que é pedido: decidir a veracidade das afirmações I, II e III:
I. Se são coplanares, então
é linearmente dependente (LD).
II. Se é linearmente independente (LI), então
pode ser LD.
III. Se é LI, então
pode ser LD.
I. Se
II. Se
III. Se
Passo 2
Definições e ideias essenciais (explicadas passo a passo, sem pular nada):
- Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) se existir uma combinação linear não trivial que dê o vetor zero; isto é, existem escalares, nem todos zero, tais que
Se a única solução é
, o conjunto é linearmente independente (LI).
- Em
a dimensão do espaço é . Uma reta tem dimensão , um plano tem dimensão . - Se um conjunto de vetores está contido num subespaço de dimensão
, então qualquer conjunto com mais de vetores desse subespaço é LD. Intuição: não há “espaço” suficiente para todos serem independentes; formalmente, dimensão do span . - Vetores coplanares em
significam que todos pertencem a um mesmo plano (um subespaço afim de dimensão ou um subespaço vetorial de dimensão se o plano passar pela origem).
Passo 3
Analisando a afirmação I:
- Hipótese:
são coplanares. Então todos estão em um plano (subespaço de dimensão ). - Pelo item anterior, um subespaço de dimensão
não pode conter três vetores linearmente independentes (porque seriam mais do que a dimensão). - Logo, os três vetores devem ser LD: existe relação linear não trivial entre eles.
- Conclusão: a afirmação I é verdadeira.
(Dica prática: na prova, ao ver "três vetores coplanares em
", já pode afirmar que são LD, porque no plano a dimensão máxima é 2.)
Passo 4
Analisando a afirmação II (mostrando que é possível — “pode ser” — e dando exemplo concreto):
- Hipótese:
é LI. Isso significa que e não são múltiplos escalares um do outro. - Pergunta: é possível que, mesmo assim, o conjunto
seja LD? Sim, é possível — basta que esteja no plano gerado por e (ou seja, seja combinação linear desses dois). - Exemplo explícito e simples (útil para a prova): escolha
Aqui
e
não são múltiplos um do outro, então
é LI. Mas
ou seja,
com coeficientes não todos zero, então
é LD.
- Portanto a afirmação II é verdadeira: a hipótese
LI não impede que seja LD — isso pode acontecer.
Passo 5
Analisando a afirmação III (mostrar que é impossível, com prova por contradição simples):
- Hipótese:
é LI. Quer-se saber se pode ser LD. - Prova por contradição: suponha que
seja LD. Então existem escalares , não ambos zero, tais que
- Então, considerando o conjunto
, temos a combinação linear
onde nem todos os coeficientes são zero (já que
nem ambos são zero). Isso mostra que
seria LD — contradição com a hipótese de que
é LI.
- Portanto
não pode ser LD quando é LI; ou seja, se é LI então necessariamente é LI. Logo a afirmação III, que diz que pode ser LD, é falsa.
(Resumo de prova útil na prova: qualquer subconjunto de um conjunto LI é LI. Basta usar a ideia acima.)
Passo 6
Resumo final das verdades:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
- III é falsa.
Resposta
(E) Só I e II são verdadeiras.