Q15: Seja p(x)=-9+7 x+12 x^{2} e \beta=\left\{3-3 x-6 x^{2}, \quad 3-3 x^{2}, \quad 3-4 x-6 x^{2}\right\}
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -4
(B) -2
(C) -3
(D) -1
(E) 2
(F) 4
(G) 1
(H) 3
Passo 1
O enunciado dá o polinômio p(x)=-9+7x+12x^{2} e a base \beta formada pelos polinômios
Pede-se a coordenada c da terceira componente em [p]_{\beta}=(a,b,c), ou seja, o coeficiente c tal que
p(x)=a\,v_{1}(x)+b\,v_{2}(x)+c\,v_{3}(x).
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): quando escrevemos um polinômio p como combinação linear dos vetores de uma base \beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}, isso significa que existem escalares únicos a,b,c tais que
p=a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}.
Para encontrar esses escalares compararemos coeficientes dos termos 1 (constante), x e x^{2} em ambos os lados. Essa unicidade vem da propriedade de base (os vetores da base são linearmente independentes).
Passo 3
Escrevendo a igualdade e expandindo o lado direito:
Simplificamos algumas equações dividindo onde for conveniente.
Da primeira equação, dividindo por 3:
a+b+c = -3. \tag{1}
A segunda equação já está simples:
-3a-4c = 7. \tag{2}
Da terceira equação, dividindo ambos os lados por -3 (para simplificar sinais):
2a+b+2c = -4. \tag{3}
Passo 5
Resolvendo o sistema por substituição. De (1) isolamos b:
b = -3 - a - c. \tag{4}
Substituímos (4) em (3):
2a + (-3 - a - c) + 2c = -4.
Agora simplificamos passo a passo:
2a -3 - a - c + 2c = -4,
(a) -3 + c = -4,
a + c = -1. \tag{5}
Da equação (5) isolamos a:
a = -1 - c. \tag{6}
Substituímos (6) em (2):
-3(-1 - c) -4c = 7.
Calculando:
3 + 3c -4c = 7,
3 - c = 7,
-c = 4,
c = -4.
Passo 6
(se quiser checar rapidamente) podemos obter a por (6): a=-1-c=-1-(-4)=3. E b por (4): b=-3-a-c=-3-3-(-4)=-2. Conferindo coeficientes com esses a,b,c retorna o polinômio p(x), então os valores estão consistentes.