Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & 0 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3 & -6 \\\\ -1 & -2 & -1 & 0 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{1}, a 1{ }^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear representado pela matriz aumentada abaixo; em particular, queremos o valor da primeira entrada x_{1} do vetor solução \vec{x}:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & 0 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3 & -6 \\\\ -1 & -2 & -1 & 0 \end{array}\right]
Informações relevantes extraídas da matriz aumentada:
A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\\\ -1 & 0 & -1\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ -1 & -2 & -1 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ -6\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 2

O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados”? Vou explicar passo a passo (sem jargões): como A é 4\times3 e normalmente o sistema A\vec{x}=\vec{b} pode ser impossível de resolver exatamente, buscamos \vec{x} que minimize a soma dos quadrados dos erros, isto é, minimize \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}. A equação que caracteriza essa solução é a chamada equação normal:
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui A^{T} é a transposta de A. Vou calcular A^{T}A e A^{T}\vec{b} explicitamente — isso dá um sistema 3\times3 que resolvemos facilmente.

Passo 3

Primeiro calculemos as colunas de A (úteis para calcular produtos escalares):
\text{col}_1=\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},\quad \text{col}_2=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix},\quad \text{col}_3=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix}.
O elemento (i,j) de A^{T}A é o produto escalar da coluna i com a coluna j: (A^{T}A)_{ij}=\text{col}_i\cdot\text{col}_j. Vou calcular esses produtos escalares um a um (mostrando os termos):
\text{col}_1\cdot\text{col}_1 = (-1)^2+(-1)^2+1^2+(-1)^2 = 1+1+1+1=4.
\text{col}_1\cdot\text{col}_2 = (-1)\cdot0+(-1)\cdot0+1\cdot2+(-1)\cdot(-2)=0+0+2+2=4.
\text{col}_1\cdot\text{col}_3 = (-1)\cdot1+(-1)\cdot(-1)+1\cdot3+(-1)\cdot(-1)=-1+1+3+1=4.
\text{col}_2\cdot\text{col}_2 = 0^2+0^2+2^2+(-2)^2=0+0+4+4=8.
\text{col}_2\cdot\text{col}_3 = 0\cdot1+0\cdot(-1)+2\cdot3+(-2)\cdot(-1)=0+0+6+2=8.
\text{col}_3\cdot\text{col}_3 = 1^2+(-1)^2+3^2+(-1)^2=1+1+9+1=12.
Portanto
A^{T}A=\begin{pmatrix} 4 & 4 & 4\\[4pt] 4 & 8 & 8\\[4pt] 4 & 8 & 12 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculemos A^{T}\vec{b}. Cada entrada é o produto escalar entre uma coluna de A e \vec{b}. Lembre-se \vec{b}=(0,2,-6,0)^{T}. Calculemos:
\text{col}_1\cdot\vec{b}=(-1)\cdot0+(-1)\cdot2+1\cdot(-6)+(-1)\cdot0=0-2-6+0=-8.
\text{col}_2\cdot\vec{b}=0\cdot0+0\cdot2+2\cdot(-6)+(-2)\cdot0= -12.
\text{col}_3\cdot\vec{b}=1\cdot0+(-1)\cdot2+3\cdot(-6)+(-1)\cdot0=0-2-18+0=-20.
Logo
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}-8\\[4pt]-12\\[4pt]-20\end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrevemos então as equações normais \;A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}\;, isto é:
\begin{pmatrix} 4 & 4 & 4\\[4pt] 4 & 8 & 8\\[4pt] 4 & 8 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8\\[4pt]-12\\[4pt]-20\end{pmatrix}.
Escrevendo em equações:
4x_{1}+4x_{2}+4x_{3}=-8, \tag{1}
4x_{1}+8x_{2}+8x_{3}=-12, \tag{2}
4x_{1}+8x_{2}+12x_{3}=-20. \tag{3}]

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de forma simples: subtraia (1) de (2) e subtraia (2) de (3) para eliminar x_{1}.
(2) -(1):
(4x_{1}-4x_{1})+(8x_{2}-4x_{2})+(8x_{3}-4x_{3})=-12-(-8)
4x_{2}+4x_{3}=-4 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}+x_{3}=-1. \tag{4}
(3) -(2):
(4x_{1}-4x_{1})+(8x_{2}-8x_{2})+(12x_{3}-8x_{3})=-20-(-12)
4x_{3}=-8 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=-2. \tag{5}

Passo 7

Substitua x_{3}=-2 em (4):
x_{2}+(-2)=-1 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=1.
Agora use (1) (ou qualquer das originais) para achar x_{1}. Dividindo (1) por 4 fica x_{1}+x_{2}+x_{3}=-2. Substituindo x_{2}=1 e x_{3}=-2:
x_{1}+1-2=-2 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}-1=-2 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=-1.

Resposta

-1

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