Assinale o valor de x_{1}, a 1{ }^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado pede a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear representado pela matriz aumentada abaixo; em particular, queremos o valor da primeira entrada x_{1} do vetor solução \vec{x}:
O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados”? Vou explicar passo a passo (sem jargões): como A é 4\times3 e normalmente o sistema A\vec{x}=\vec{b} pode ser impossível de resolver exatamente, buscamos \vec{x} que minimize a soma dos quadrados dos erros, isto é, minimize \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}. A equação que caracteriza essa solução é a chamada equação normal:
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui A^{T} é a transposta de A. Vou calcular A^{T}A e A^{T}\vec{b} explicitamente — isso dá um sistema 3\times3 que resolvemos facilmente.
Passo 3
Primeiro calculemos as colunas de A (úteis para calcular produtos escalares):
O elemento (i,j) de A^{T}A é o produto escalar da coluna i com a coluna j: (A^{T}A)_{ij}=\text{col}_i\cdot\text{col}_j. Vou calcular esses produtos escalares um a um (mostrando os termos):