Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(-2,1,3),(-7,3,10)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(1,-2,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-1, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^{3}:
H=\operatorname{span}\{(-2,1,3),(-7,3,10)\}
e
M=\operatorname{span}\{(1,-2,1)\}.
Pede-se: encontrar o único vetor \vec{x}\in M^{\perp}\cap H que tem a forma \vec{x}=(-1,x_{2},x_{3}). Em particular, qual é o valor de x_{3}? As alternativas possíveis são listadas de (A) a (H).

Passo 2

Vamos traduzir o que significa "estar em H". Dizer que \vec{x}\in H significa que \vec{x} é combinação linear dos vetores que geram H. Ou seja, existem escalares a e b tais que
\vec{x}=a(-2,1,3)+b(-7,3,10).
Isto é a representação paramétrica de qualquer vetor em H. Vou usar essa representação para escrever as coordenadas de \vec{x} em função de a e b.

Passo 3

Calculemos as coordenadas de \vec{x}=a(-2,1,3)+b(-7,3,10). Somando componente a componente obtemos
\vec{x}=\big(-2a-7b,\;a+3b,\;3a+10b\big).
Como no enunciado temos a condição de que \vec{x}=(-1,x_{2},x_{3}), a primeira coordenada dá a equação
-2a-7b=-1.
Esta será uma das equações do sistema para a e b.

Passo 4

Agora usemos a condição \vec{x}\in M^{\perp}. O subespaço M é gerado por (1,-2,1); portanto M^{\perp} é o conjunto dos vetores ortogonais a (1,-2,1). Ortogonalidade significa produto interno (produto escalar) nulo. Para dois vetores \vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) e \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}), o produto escalar é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}.
Portanto, a condição \vec{x}\in M^{\perp} implica
\vec{x}\cdot(1,-2,1)=0.

Passo 5

Substituímos \vec{x}=\big(-2a-7b,\;a+3b,\;3a+10b\big) no produto escalar:
(-2a-7b)\cdot 1 + (a+3b)\cdot(-2) + (3a+10b)\cdot 1 = 0.
Calculemos termo a termo:
(-2a-7b) + (-2a-6b) + (3a+10b)=0.
Somando os coeficientes de a e de b obtemos
(-2a-2a+3a) + (-7b-6b+10b)= -a -3b = 0.
Logo temos a segunda equação
-a-3b=0.

Passo 6

Resolvendo o sistema formado por
\begin{cases} -2a-7b=-1,\\[4pt] -a-3b=0, \end{cases}
da segunda equação isolamos a: -a-3b=0\Rightarrow a=-3b. Substituímos na primeira:
-2(-3b)-7b=-1 \Rightarrow 6b-7b=-1 \Rightarrow -b=-1.
Portanto
b=1.
E então
a=-3b=-3.]

Passo 7

Agora que temos a e b, podemos calcular a terceira coordenada x_{3} da forma \vec{x}=( -2a-7b,\;a+3b,\;3a+10b). Usando a=-3 e b=1,
x_{3}=3a+10b=3(-3)+10(1).

Passo 8

Façamos a conta:
x_{3}= -9 + 10 = 1.
Assim obtemos o valor de x_{3}.

Passo 9

Checagem rápida: a primeira coordenada fica -2a-7b = -2(-3)-7(1)=6-7=-1 (confere com a forma pedida) e o produto escalar com (1,-2,1) dá zero (já usamos isso para obter a=-3b). Então tudo está consistente e existe um único vetor com a forma pedida.

Resposta

(E) 1

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