Ou seja, dado A (as três primeiras colunas) e \vec{b} (a coluna à direita), encontrar o vetor \vec{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} que minimiza \|A\vec{x}-\vec{b}\|_{2}^{2}. A questão específica que precisamos responder é: qual é o valor de x_{2} (a segunda entrada da solução \vec{x})? As alternativas são (-4,-3,-2,-1,1,2,3,4).
Lista das informações dadas (extraídas da matriz aumentada acima):
O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados” e qual fórmula usamos? Vou explicar bem simples e passo a passo.
Quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} pode NÃO ter solução exata (por exemplo mais equações que incógnitas), buscamos \vec{x} que minimize o erro quadrático
Para achar o mínimo, derivamos (gradiente) e igualamos a zero. O cálculo padrão dá a chamada equação normal:
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Esta é uma explicação curta: pensar em \varphi como função quadrática em \vec{x}; o primeiro-ordem ótimo é A^{T}(A\vec{x}-\vec{b})=0. A solução que satisfaz isso é justamente a solução dos mínimos quadrados. Portanto vamos formar A^{T}A e A^{T}\vec{b} e resolver esse sistema linear.
Passo 3
Calcular A^{T}A. Para isso é útil olhar as colunas de A. Denotando as colunas por \mathbf{c}_{1},\mathbf{c}_{2},\mathbf{c}_{3}:
Para simplificar a conta, note que todos os coeficientes e termos do sistema são múltiplos de 7. Dividindo cada linha por 7 obtemos o sistema equivalente mais simples: