Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -3 & 8 \\\\ -1 & -2 & -2 & -3 \\\\ 2 & 1 & 0 & -4 \\\\ -1 & -3 & 6 & -18 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{2}, a 2^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear representado pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -3 & 8 \\\\ -1 & -2 & -2 & -3 \\\\ 2 & 1 & 0 & -4 \\\\ -1 & -3 & 6 & -18 \end{array}\right]
Ou seja, dado A (as três primeiras colunas) e \vec{b} (a coluna à direita), encontrar o vetor \vec{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} que minimiza \|A\vec{x}-\vec{b}\|_{2}^{2}. A questão específica que precisamos responder é: qual é o valor de x_{2} (a segunda entrada da solução \vec{x})? As alternativas são (-4,-3,-2,-1,1,2,3,4).
Lista das informações dadas (extraídas da matriz aumentada acima):
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3\\[4pt] -1 & -2 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -3 & 6 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}8\\[4pt]-3\\[4pt]-4\\[4pt]-18\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados” e qual fórmula usamos? Vou explicar bem simples e passo a passo.
Quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} pode NÃO ter solução exata (por exemplo mais equações que incógnitas), buscamos \vec{x} que minimize o erro quadrático
\varphi(\vec{x})=\|A\vec{x}-\vec{b}\|_{2}^{2}=(A\vec{x}-\vec{b})^{T}(A\vec{x}-\vec{b}).
Para achar o mínimo, derivamos (gradiente) e igualamos a zero. O cálculo padrão dá a chamada equação normal:
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Esta é uma explicação curta: pensar em \varphi como função quadrática em \vec{x}; o primeiro-ordem ótimo é A^{T}(A\vec{x}-\vec{b})=0. A solução que satisfaz isso é justamente a solução dos mínimos quadrados. Portanto vamos formar A^{T}A e A^{T}\vec{b} e resolver esse sistema linear.

Passo 3

Calcular A^{T}A. Para isso é útil olhar as colunas de A. Denotando as colunas por \mathbf{c}_{1},\mathbf{c}_{2},\mathbf{c}_{3}:
\mathbf{c}_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix},\quad \mathbf{c}_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 1\\\ -3\end{pmatrix},\quad \mathbf{c}_{3}=\begin{pmatrix}-3\\\ -2\\\ 0\\\ 6\end{pmatrix}.
Os elementos de A^{T}A são produtos internos (A^{T}A)_{ij}=\mathbf{c}_{i}\cdot\mathbf{c}_{j}. Vamos calcular cada produto (mostrando as contas):
  • (A^{T}A)_{11}=\mathbf{c}_{1}\cdot\mathbf{c}_{1}=1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}+(-1)^{2}=1+1+4+1=7.
  • (A^{T}A)_{12}=\mathbf{c}_{1}\cdot\mathbf{c}_{2}=1\cdot0+(-1)(-2)+2\cdot1+(-1)(-3)=0+2+2+3=7.
  • (A^{T}A)_{13}=\mathbf{c}_{1}\cdot\mathbf{c}_{3}=1(-3)+(-1)(-2)+2\cdot0+(-1)\cdot6=-3+2+0-6=-7.
  • (A^{T}A)_{22}=\mathbf{c}_{2}\cdot\mathbf{c}_{2}=0^{2}+(-2)^{2}+1^{2}+(-3)^{2}=0+4+1+9=14.
  • (A^{T}A)_{23}=\mathbf{c}_{2}\cdot\mathbf{c}_{3}=0(-3)+(-2)(-2)+1\cdot0+(-3)\cdot6=0+4+0-18=-14.
  • (A^{T}A)_{33}=\mathbf{c}_{3}\cdot\mathbf{c}_{3}=(-3)^{2}+(-2)^{2}+0^{2}+6^{2}=9+4+0+36=49.
Como a matriz é simétrica, preenchendo espelhado obtemos:
A^{T}A=\begin{pmatrix} 7 & 7 & -7\\[4pt] 7 & 14 & -14\\[4pt] -7 & -14 & 49 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular A^{T}\vec{b}. Cada entrada é o produto interno da coluna correspondente com \vec{b}.
Usando \vec{b}=(8,-3,-4,-18)^{T}:
  • Primeira entrada:
\mathbf{c}_{1}\cdot\vec{b}=1\cdot8+(-1)(-3)+2(-4)+(-1)(-18)=8+3-8+18=21.
  • Segunda entrada:
\mathbf{c}_{2}\cdot\vec{b}=0\cdot8+(-2)(-3)+1(-4)+(-3)(-18)=0+6-4+54=56.
  • Terceira entrada:
\mathbf{c}_{3}\cdot\vec{b}=(-3)\cdot8+(-2)(-3)+0(-4)+6(-18)=-24+6+0-108=-126.
Portanto
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}21\\[4pt]56\\[4pt]-126\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora escrevemos as equações normais A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}. São:
\begin{pmatrix} 7 & 7 & -7\\[4pt] 7 & 14 & -14\\[4pt] -7 & -14 & 49 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}21\\[4pt]56\\[4pt]-126\end{pmatrix}.
Para simplificar a conta, note que todos os coeficientes e termos do sistema são múltiplos de 7. Dividindo cada linha por 7 obtemos o sistema equivalente mais simples:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}=3,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=8,\\[4pt] - x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-18. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema simplificado passo a passo (eliminação direta, bem mastigada).
Primeiro subtraio a primeira equação da segunda:
(\text{eq2})-(\text{eq1}):\quad (x_{1}-x_{1})+(2x_{2}-x_{2})+(-2x_{3}+x_{3})=8-3,
ou seja
x_{2}-x_{3}=5.
Isto dá
x_{2}=5+x_{3}.
Agora uso a primeira equação para achar x_{1}. Da primeira equação:
x_{1}=3 - x_{2} + x_{3}.
Substituindo x_{2}=5+x_{3} resulta
x_{1}=3-(5+x_{3})+x_{3}=3-5-x_{3}+x_{3}= -2.
Então já temos x_{1}=-2. (Legal — uma incógnita já saiu rapidinho.)
Agora uso a terceira equação para determinar x_{3}. A terceira equação é
- x_{1}-2x_{2}+7x_{3}=-18.
Substituo x_{1}=-2 e x_{2}=5+x_{3}:
-(-2)-2(5+x_{3})+7x_{3}=-18.
Compute passo a passo:
2 -10 -2x_{3}+7x_{3} = -18 \quad\Rightarrow\quad -8 +5x_{3} = -18.
Isolando x_{3}:
5x_{3} = -18 +8 = -10 \quad\Rightarrow\quad x_{3} = -2.
Agora voltamos para x_{2}=5+x_{3}:
x_{2}=5+(-2)=3.
Recapitulando, a solução dos mínimos quadrados encontrada é
\vec{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\[4pt]3\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
O que importa para a pergunta é x_{2}=3. Força, você conseguiu — curto e objetivo!]

Resposta

(G) 3

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