Verifique se r=s nos casos:
r:\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}-\lambda \\\ y=\frac{1}{3}+\lambda \\\ z=\frac{2}{3}-\lambda\end{array} \quad(\lambda \in \mathbb{R}) \quad s:\left\{\begin{array}{l}x=1-\mu \\\ y=-1+\mu \\\ z=2-\mu \quad(\mu \in \mathbb{R})\end{array}\right.\right.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se as retas r e s são a mesma reta (ou seja, se r=s).\n
Informações dadas (copiadas do enunciado):
r:\begin{cases} x=\dfrac{1}{3}-\lambda\\[4pt] y=\dfrac{1}{3}+\lambda\\[4pt] z=\dfrac{2}{3}-\lambda \end{cases}\;(\lambda\in\mathbb{R}) \qquad s:\begin{cases} x=1-\mu\\[4pt] y=-1+\mu\\[4pt] z=2-\mu \end{cases}\;(\mu\in\mathbb{R})
Não resolvo nada ainda: só identifiquei as equações paramétricas e a pergunta.]

Passo 2

Reescrever cada reta na forma “ponto + parâmetro·vetor-direção” (isso facilita comparar).
Para r tomo \lambda=0 para achar um ponto da reta e leio o coeficiente de \lambda para o vetor-direção:
P_r=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right),\qquad \vec{v}_r=(-1,\,1,\,-1).
Para s tomo \mu=0:
P_s=(1,-1,2),\qquad \vec{v}_s=(-1,\,1,\,-1).
Explicação curta: em equações da forma x=x_0+ t a,\\ y=y_0+ t b,\\ z=z_0+ t c o ponto (x_0,y_0,z_0) está na reta e (a,b,c) é o vetor-direção.

Passo 3

Critério para r=s: duas retas paramétricas em \mathbb{R}^3 são iguais se e somente se
  1. seus vetores-direção são proporcionais (ou iguais) e
  2. um ponto de uma delas pertence à outra (ou seja, a diferença entre um ponto de uma e um ponto da outra é múltiplo do vetor-direção).
    Se 1) for verdadeira e 2) também, então são a mesma reta; se 1) for verdadeira e 2) falsa, são paralelas distintas.

Passo 4

Comparo os vetores-direção já encontrados:
\vec{v}_r=(-1,1,-1),\qquad \vec{v}_s=(-1,1,-1).
Conclusão: \vec{v}_r=\vec{v}_s. Logo as retas têm o mesmo vetor-direção — são paralelas (poderiam ser coincidentes).

Passo 5

Agora verifico se um ponto de s\) pertence a \(r\). Tento colocar \(P_s=(1,-1,2)\) na equação de \(r\); isto é, procuro \(\lambda\) tal que \[\begin{cases} \dfrac{1}{3}-\lambda=1,\\[4pt] \dfrac{1}{3}+\lambda=-1,\\[4pt] \dfrac{2}{3}-\lambda=2. \end{cases}
Da primeira equação:
\dfrac{1}{3}-\lambda=1 \implies -\lambda=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\implies \lambda=-\dfrac{2}{3}.
Substituo esse \lambda\] na segunda equação: \[\dfrac{1}{3}+\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{3},\] mas a segunda coordenada de \(P_s é -1. Como -\dfrac{1}{3}\neq -1, não existe \lambda que satisfaça simultaneamente as equações. Portanto P_s\notin r.
Observação alternativa (vetorial): a diferença P_s-P_r=(\tfrac{2}{3},-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}) não é múltiplo de \vec{v}_r=(-1,1,-1) porque as razões coordenada a coordenada não coincidem (por exemplo, \tfrac{2/3}{-1}=-\tfrac{2}{3} enquanto \tfrac{-4/3}{1}=-\tfrac{4}{3}).]

Passo 6

Concluo a classificação: as retas têm o mesmo vetor-direção (logo são paralelas) mas não compartilham um ponto (logo não coincidem). Portanto r\neq s; são paralelas e distintas.

Resposta

Não, r\neq s. São retas paralelas e distintas.

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